作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

話說兩千多年前的歐幾里德，寫出第一本數學暢銷書《幾何原本》，不僅遠在東方的康熙皇帝讚譽有加，就連西方的林肯總統也經常熬夜苦讀。在《簡短的自傳》裡，有過如下對林肯讀幾何原本的描述：「自從他當了議會議員之後，他學習並掌握了歐幾里德的六卷書。他開始專心致志地進行嚴格的腦力訓練，以提高他的才能，特別是他的邏輯和語文能力。由此他喜歡歐幾里德的書，他在巡行時總帶著它們，經常在枕邊放一小蠟燭，學習到深夜，直到他能容易地證明六卷書中的所有命題。而與此同時，一間屋子裡有半打他的律師伙伴們，沒完沒了的鼾聲充斥房間。」

據說，歐幾里德會善用《幾何原本》裡的知識娛樂他的學生。他又叫兩位學生上台，輪流在黑板上寫出新的正整數的數字比賽：歐幾里德先在黑板上寫出52及78兩個數字，之後叫台上的男女學生，依下列規則，輪流在黑板上寫上正整數：

(1) 所寫的數字必須是正整數，而且是黑板上某兩個數字的差。

(2) 寫過的數字不能再寫。

(3) 無法依規則寫出數字的一方輸。

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

在數位時代裡，所有產品都科技化，電子產品就是由0與1兩個簡單的數字所組合而成。在統計的世界裡，讓統計數字說話是無可避免的傾向。處理數字與解讀數字成為現代人的當務之急。可見瞭解數字，特別是清楚整數的性質，是很重要的一門學問。就讓我們以一道分球遊戲來測試讀者對整數的瞭解。

拿出12顆球讓甲﹑乙兩人分，首先甲將12顆球排成3×4的長方形，然後將最後一列的4顆球取走，如下圖所示，黑色球代表被甲取走的球：

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接下來乙將剩下的8顆球排成4×2的長方形，同樣將最後一行的2顆球取走，如下圖所示，黑色球代表被乙取走的球：

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接著輪回甲，將剩下的6顆球排成6×1的長方形，並取走最後一行的1顆球：

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接下來乙將剩下的5顆球排成5×1的長方形，並取走最後一行的1顆球：

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接著輪回甲，將剩下的4顆球排成2×2的長方形，並取走最後一行的2顆球：

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接下來乙將剩下的2顆球排成2×1的長方形，並取走最後一行的1顆球：

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最後輪到甲，需將剩下的1顆球排成長≧2的長方形，但這不可能，所以甲輸。

仿照這樣的規則所進行的遊戲，就是我們要談的分球遊戲： 

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

台灣較正式的高中數學競賽是1981年由台大數學系舉辦的文復會高中數學競試，每年一次，前後十幾年。接著“教育部”80年度開始辦理全台灣高中數學競賽。讀高中時，曾代表學校參加過文復會的比賽，現在回想起來，會做的題目都忘了，只記得一道做不出來的馬步問題，詳細的題目也記不得了。

玩過象棋的人都知道：馬跳日步，象跨田步，而士只能在田區裡晃來晃去。在棋盤上，日步比田步小，所以馬的行動靈活許多，象則相對笨拙。這也反應出，馬可以遊走的點比象多了許多。當棋盤不是很大，棋子移動受到比較大的限制時，想要在棋盤內遊走，必須有很靈活的移法與竅門。

 

 

對於像馬這樣歪來拐去的移動方式，除非我們可以找到「既能表示距離，又可傳達方向的數學工具」，否則想要駕駑牠是很困難的。現在就讓我們來練習一道這樣的遊戲，順便理解其中所牽涉到的數學。

 

在5×6的棋盤上，棋子放置在原點，每次只能根據下列四種規則移動棋子：

(1) 向右移動3格，再往上移動4格。

(2) 向左移動3格，再往下移動4格。

(3) 向右移動2格，再往上移動3格。

(4) 向左移動2格，再往下移動3格。

在不跑出棋盤限制範圍的情形下：

(1) 是否可以將棋子移動到坐標為(3,2)的點？

(2) 是否可以將棋子移動到坐標為(2,4)的點？

 

「既能表示距離，又可傳達方向」的數學工具想到了嗎？向量就是工具之一。想想看，物理學上的力不僅有大小，而且也有方向，所以力經常用向量來表示。當拔河比賽雙方處於勢均力敵狀態時，代表兩方力的大小相當，但方向卻相反。也就是說，兩隊所出力的向量和為零的意思。現在就讓我們以向量的方法解決這道移動遊戲。

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

幾年前報紙上刊登過一則有趣的詐騙新聞，兜售太陽眼鏡的生意人向路人宣稱，戴上這高科技眼鏡，可以看穿衣服，讓內在無所遁形，路人甲一時心動買了一副，回去一「視」再「視」，都沒有看到他想看到的，一怒之下，告進法庭。法官傳生意人訊問，生意人說：「沒有可以看透衣服的眼鏡，這是基本常識，只有色迷心竅的人才會受騙，法官應該問路人甲有否色迷心竅，如果沒有，那代表路人甲早就知道這只是一副普通的眼鏡，無所謂受騙。」路人甲只好啞巴吃黃蓮，有苦說不出的撤回告訴。

這種用高科技騙人的伎倆時有所聞，事實上，高科技經常被用來擷取﹑儲存資料與還原原始資料。例如，以前的帳目都是記錄在紙本上，沒多久就累積一大疊資料，當政府人員前來查帳時，往往來不及銷毀，留下證據。現在都用電腦記帳，小小的硬碟就可以記錄許多資料，遇到查帳時，只要手指一按就可以銷毀不想被知道的資料。但是，銷毀的硬碟資料是可以被還原的，科技人員可以一層一層的叫回被殺掉的資料。

這裡我們將介紹一道差一點就消失，而且是世界上最古老的拼圖遊戲。在加州史丹福大學同步輻射實驗室，古文物復原專家運用紫外光與數位圖像電腦處理技術，讓阿基米德發明的一道遊戲重現天日。在1998年10月30日，《紐約時報》頭版登了一則報導：紐約佳士得拍賣會上，有一本其貌不揚的古書，以美金200萬的高價成交。從外表看，這本書就像是中世紀某位修士的祈禱書，磨損不堪，布滿燒焦、水漬、發霉的痕跡。然而在祈禱文的下方，隱約可看見幾乎被擦拭掉的、傳抄自古代科學家阿基米德的抄本。這祈禱書是教士約翰‧麥隆納斯於公元1229年4月14日抄寫，想在耶穌復活周年日，當作禮物獻給教會。羊皮紙從古代中世紀開始使用，由於價值極為貴重，通常經過皮面刮削後，重新書寫，被稱為再生羊皮紙，麥隆納斯將祈禱文書寫在再生羊皮紙上。透過高科技的掃瞄，祈禱書最後一頁原本是阿基米德稱為《胃痛》的一篇文章。該文章並非談身體的疼痛，而是在論述一道組合學的問題，而且附了一個正方形的插圖：

 

阿基米德的《胃痛》拼圖