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分類：戲說數學
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發佈於：08 四月 2014
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點擊數：1394
作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
在智慧型手機與平板電腦逐漸普及的今日，開發老少咸宜，雅俗共賞的益智遊戲成為賺錢的大商機，憤怒鳥遊戲（Angry Birds）就是一款非常成功的範例：
拋物線是憤怒鳥遊戲的精髓，也是這道遊戲唯一所需要掌握的數學，掌握得好就可以過關斬將，進入更高階的關卡。
在1974年，匈牙利的建築學和雕塑學教授魯比克發明了第一個魔術方塊（Rubik's Cube），從此魔術方塊熱快速的傳播到全世界，據說魔術方塊的權利金讓魯比克一度成為匈牙利的首富：
空間中的旋轉與變化是魔術方塊的數學基礎，這些都是透過中心的轉軸來完成。在更早之前，西方的14-15滑板遊戲與中國的華容道遊戲也是跟魔術方塊類似的遊戲，差別在於它們是平面的轉換，不是立體的變換。人們所處的環境是三維的世界，立體的魔術方塊會更吸引我們。本質上，這些遊戲都跟代數學的群論有很大的關連，只是外行的玩出熱鬧來，而內行的探究其數學道理。
前蘇聯科學家阿列克謝在1984年利用空閒時間所編寫的俄羅斯方塊遊戲（Tetris），是風靡全世界的電腦遊戲，也是落下型益智遊戲的始祖：
在第一次波斯灣戰爭期間，俄羅斯方塊遊戲是前線美軍最常拿來消磨時間的遊戲之一。遊戲中所落下的四方連塊都是由四塊正方形相連所構成的，排除旋轉與鏡射外，一共只有五種四方連塊。由於俄羅斯方塊具有數學性、動態性與知名度，也經常被用來作為遊戲程式設計的練習題材。
遠在兩千兩百多年前，希臘科學家阿基米德也發明過有趣的拼圖遊戲，稱它為胃痛拼圖，其目的是要把十四塊多邊形拼成一整塊正方形：
胃痛拼圖的奧妙之處在於它多達17152種拼法，除了對阿基米德的巧思切割感到吃驚外，更要感謝平面幾何帶來的美學。
以上所簡介的四道膾炙人口的遊戲，都是以某種數學基礎架構而成，而且又具有很棒的美學效果，究竟這些有趣的數學遊戲是如何誕生的呢？讓我們作更進一步的探索。
匈牙利數學家喬治‧波利亞寫過一本名著《如何解題》，教導人們透過各種數學概念，思維與工具來進行解題；但是，波利亞似乎沒有寫過《如何命題》這方面的書籍，無論是奮怒鳥遊戲，魔術方塊，俄羅斯方塊，胃痛拼圖或者教科書裡的數學題目，他們都是屬於“如何命一道有意思的數學題目”的範疇。
解題牽涉到的僅是數學知識的策略應用與組合方法，而命題卻含有相當主觀的成分，甚至命題與數學素養極為相關。到底該如何界定數學素養呢？我們可以用「知﹑懂﹑熟﹑用﹑賞」這五個字來概括，「知﹑懂」的程度在要求知道或讀懂數學知識；「熟﹑用」的深度是指熟練跟會使用數學知識進行解題；而「賞」的境界則較為深奧，意指在生活中遇到與數學相關的事物都能辨識，連結與欣賞。
如果用x軸度「知﹑懂」的程度，y軸量「熟﹑用」的深度，那麼學過或讀懂的數學書籍越多，x軸就越長；能使用的數學技巧或熟悉的數學工具越多，y軸就越深。如此，將x代表學過的數學知識，y表示使用此知識的能力，就可以在xy平面上畫出一塊對應的區域，這塊區域就呈現出解題的策略與組合的情形，面積越大代表解題能力越強。當我們進一步在這塊解題區域的每一個點畫上「辨識，連結與欣賞數學事物」的高度（即用z來度量「賞」的素養）時，就形成一座高山，這座高山就是數學素養，體積越大代表著命題水準越高。
就以憤怒鳥遊戲為例，它是以拋物線為數學背景所設計出來的遊戲，設計者在拋物線這個點的鑑賞能力很高，才能想到與設計出這道遊戲。同樣地，魔術方塊，俄羅斯方塊與胃痛拼圖，他們分別以立體幾何的變換，四方連塊的變化與多邊形的貼合為數學背景，所設計出來很吸睛的遊戲。
這裡所要表達的是「解題能力可以用xy平面上的一塊區域的面積來計算，而命題水準是素養的問題，必須用立體空間上的體積來衡量；解題跟「知﹑懂﹑熟﹑用」的能力有關，命題還要考慮「賞」的素養。」最後以乾隆皇帝收藏的一件藝術精品「雕象牙透花人物套球」作結尾：
這玲瓏精緻的象牙套球目前收藏在台北故宮博物館，它是由十七層可以靈活轉動的球體所構造完成，從最外層的球體往內挖，必須連挖十六層，而且每層球體的表面必須精雕藝術作品。顯然地，完成這件作品的能工巧匠必須具備某種程度的立體幾何知識，才能幫乾隆完成這件手上玩物。仔細觀察套球，可以發現它有十四個孔，這關鍵的十四孔是如何分佈，才能往下穿鑿十六層呢？
當我們把最外層的球體擺在一個正立方體內，讓立方體的六個面都與球體相切，再從球體的中心畫出與正立方體頂點相連的連線，這八條連線與球體表面剛好交八個點。這相切的六點加上相交的八個點，一共十四點，就是套球上十四個孔的中心位置。在數代能工巧匠的實驗嘗試後，終於發現這關鍵的十四孔扮演著相當重要的角色。乾隆皇帝手上把玩的這象牙套球就是以立體幾何上的這十四孔為背景，所構造完成的藝術精品，把它算成數學藝術也不為過。
戲說數學目錄
1 雞同鴨講…相間何太急
2 腳踏車的軌跡…向東或向西騎呢？
3 正十二面體的展開圖…從平面看立體的世界
4 亂點鴛鴦譜…圓圈數
5 四方連塊拼圖
6 六角拼圖
7 鋸木為方…如何拼出正方形
8 四方連塊拼正方形遊戲…讓俄羅斯方塊縈繞我心
9 砌磚遊戲…橫與豎的對抗
10 螽斯的繁衍…用樹狀圖來畫族譜
11 魯斯偉特棋…黑與白的對抗
12 井字上翻烏龜…相煎何太急
13 陶哲軒的青蛙跳…是幾何嗎？還是代數呢？
14 分田遊戲…幾何圖形的分割與拼湊
15 愚公移桌遊戲…與向量連結的能力
16 鋸木板的遊戲…橫與豎的巧妙安排
17 皇后遊戲…如何后不見后呢？
18 與3共舞…將地雷數字留下來
19 費波納契的遊戲…齊肯多夫定理
20 黑斯廷斯戰役…在雙曲線上尋找格子點
21 倒水問題…轉移矩陣
22 柯施克的正十二邊形定理…典雅的幾何鑲嵌
23 圍貓遊戲…決策能力測試
24 黑白走的遊戲…規律的搜尋
25 走馬步遊戲…有向位移初體驗
26 眼球定理…蝴蝶定理的翻版
27 戲弄第一象限…抓氣球的遊戲
28 索數列…遞迴數列的奧妙
29 架設照相機的數學…直線與斜率的對話
30 華容道…關羽橫讓捉放曹操
31 三用瓶塞…三度空間的設計大師
32 中國最早的測量問題…劉徽的海島算經
33 滾動吧！彈珠…巴斯卡的秘密
34 拋向空中的繩環遊戲…玩弄圓與橢圓於股掌之中
35 十三個酒瓶的遊戲…酒櫃內擺放13瓶酒的數學
36 納許棋遊戲…剪紙的數學
37 達文西的棋盤…聆聽上帝的美學
38 塗球遊戲…圓是最完美的圖形
39 步步逼近…左撇子的失算
40 佔房子遊戲…天下圍攻
41 在正五邊形上跳舞…搶20的遊戲
42 歐幾里德的算計…輾轉相除法
43 分球遊戲…讓數字說話
44 寸步難行…在棋盤上趴趴走
45 阿基米德的“胃痛”遊戲…西方的七巧板
46 碩大就是美…吃雨傘節的遊戲
47 會洗牌的猴子…合成函數的使用
48 楊輝的魔術…二項式係數的奧妙
49 既漂亮又簡潔的芮奇蒙正五邊形作圖法…精準的數學工藝
50 高斯戲弄五邊形…稀少，但成熟的數學風格
51 達澤爾定理…不可思議的黃金分割現象
52 班佛法則…不會丟擲骰子的上帝？
53 柯西的手臂遊戲…張開雙手的數學
54 萬馬奔騰…像手痛醫腳，腳痛醫手一樣的彈性題
55 李政道的五猴分桃問題…遞迴數列知多少
56 生銹圓規搞數學工藝…圓規的奧妙
57 狄拉克問題…對數的奧妙
58 算幾大戰…時間與智慧的積累
59 數學遊戲的初體驗
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分類：戲說數學
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發佈於：09 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
這裡所要介紹的遊戲是改編自香港網站上「機靈金幣」的遊戲。在下圖中，有三隻雞與三隻鴨排成一列，中間沒有空格，而且左邊三隻為雞，右邊三隻為鴨。每次只能抓取相鄰的兩隻，並將他們移動到其它相鄰的兩個空格上，不可以交換雞與鴨的左右次序。當三對雞、鴨（即三隻雞與三隻鴨）相鄰地排成一排，而且雞與鴨剛好相間（雞與鴨相鄰）時，完成遊戲：
要完成三對雞、鴨相間的排列並不困難，我們的要求是：最少可以在多少次的抓取內完成它。經過練習之後，相信讀者可以找到三次的抓取方法。這裡把抓取遊戲延伸為以下的遊戲：
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分類：戲說數學
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發佈於：09 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
記得鄉下的魚塭在夏秋之際都會將水排掉，讓魚塭可以曝曬太陽，增加養分，曬過太陽的魚塭，在冬天裡，魚﹑蝦﹑螃蟹就有充足的微生物當食物，養出來的魚蟹才會肥胖。每當魚塭的水被排乾時，橫行的螃蟹就會沒入泥巴裡，以為這樣就不會被發現。
事實上，螃蟹橫行的腳印會透露出他躲藏的地點，只需跟著腳印走，就可以順藤摸瓜似的抓到螃蟹。這是小時一個有趣的尋蟹之旅，但是有一個問題是需要推敲的「螃蟹橫行的腳印是彎曲的路徑，到底他是從哪一頭往哪一邊橫行呢？」搞錯方向就必須回頭才能抓到螃蟹，有點費時。
在一本原文書上，我看到一道這類遊戲的腳踏車版，這道數學遊戲出自一本原文書的封面故事：
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分類：戲說數學
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發佈於：09 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
畫家將人們生存的三度空間之事務畫在平面的畫布上，要畫得逼真，需要一點空間的幾何學，同樣地，卡通電影想要在平面的布幕上呈現立體效果也需要空間的幾何學。我們的紙張，黑板與電腦螢幕都是平面結構，想要在上面呈現立體圖形可要仔細思考一番。
數學家在講解立體圖形時，經常利用平面的展開圖來解說，所謂的展開圖就是將立體圖形沿著某些稜線切開，讓立體圖的表面可以貼平在平面上，而這個貼平的平面圖形就是所謂的展開圖。事實上，只要是在平面上呈現立體圖形，都會有些許的不適應，例如，下圖是一群螞蟻繞行立體的莫比烏斯帶之平面描述圖：
妳完全看清楚螞蟻繞行的路徑了嗎？這裡我們要讓讀者思考一道香港青少年數學精英選拔賽的試題，它與正十二面體的展開圖有關：
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分類：戲說數學
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發佈於：09 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
每個人都有兩隻手，在亂點鴛鴦譜的活動中，每人的每一隻手都恰與另一隻手（可以是自己的另一隻手或他人的手）握住。這時所有人的手交錯揪成一團，但是仔細辨識，還是可以區分哪幾個人是相連在一塊的，這些相連在一塊的人剛好圍成一個圓圈。最小的圓圈就是自己的兩隻手握在一起，再來就是兩個人的兩隻手互相握在一起，形成兩個人的圓圈，…。
如果只有三個人，那麼圍出的圓圈數之期望值是多少呢？
這道問題也可以抽象為：隨手取出n條線直線，共計有2n個端點，首先將兩個端點綁在一塊，再將另兩個端點綁在一塊，如此進行下去，把最後的兩個端點也綁在一塊。此時，這n條線直線會圍成數個圓圈，令En代表所結圓圈數的期望值。
閱讀全文：4 亂點鴛鴦譜…圓圈數