44 寸步難行…在棋盤上趴趴走
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分類：戲說數學
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發佈於：15 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
台灣較正式的高中數學競賽是1981年由台大數學系舉辦的文復會高中數學競試，每年一次，前後十幾年。接著“教育部”80年度開始辦理全台灣高中數學競賽。讀高中時，曾代表學校參加過文復會的比賽，現在回想起來，會做的題目都忘了，只記得一道做不出來的馬步問題，詳細的題目也記不得了。
玩過象棋的人都知道：馬跳日步，象跨田步，而士只能在田區裡晃來晃去。在棋盤上，日步比田步小，所以馬的行動靈活許多，象則相對笨拙。這也反應出，馬可以遊走的點比象多了許多。當棋盤不是很大，棋子移動受到比較大的限制時，想要在棋盤內遊走，必須有很靈活的移法與竅門。
對於像馬這樣歪來拐去的移動方式，除非我們可以找到「既能表示距離，又可傳達方向的數學工具」，否則想要駕駑牠是很困難的。現在就讓我們來練習一道這樣的遊戲，順便理解其中所牽涉到的數學。
在5×6的棋盤上，棋子放置在原點，每次只能根據下列四種規則移動棋子：
(1) 向右移動3格，再往上移動4格。
(2) 向左移動3格，再往下移動4格。
(3) 向右移動2格，再往上移動3格。
(4) 向左移動2格，再往下移動3格。
在不跑出棋盤限制範圍的情形下：
(1) 是否可以將棋子移動到坐標為(3,2)的點？
(2) 是否可以將棋子移動到坐標為(2,4)的點？
「既能表示距離，又可傳達方向」的數學工具想到了嗎？向量就是工具之一。想想看，物理學上的力不僅有大小，而且也有方向，所以力經常用向量來表示。當拔河比賽雙方處於勢均力敵狀態時，代表兩方力的大小相當，但方向卻相反。也就是說，兩隊所出力的向量和為零的意思。現在就讓我們以向量的方法解決這道移動遊戲。
如果我們將5×6的棋盤坐標化，把棋子所在的點當原點(0,0)，那麼根據平面向量的意涵，「向右移動3格，再往上移動4格」就是移動向量(3,4)的意思，「向左移動3格，再往下移動4格」就是移動向量(-3,-4)=-(3,4)的意思。同理，另外兩種移動就相當於移動向量(2,3)與-(2,3)的意思。如果我們將移動a1步向量(3, 4)，a2步向量-(3,4)，b1步向量 (2,3)與b2步向量-(2,3)可以到達坐標(3,2)，那麼根據向量的運算，得
(3,2)=a1(3,4)-a2(3,4)+b1(2,3)-b2(2,3)
=(a1-a2)(3,4)+(b1-b2)(2,3).
令a=a1-a2,b=b1-b2，整理得二元一次聯立方程組
解得
即a1-a2=5,b1-b2=-6。顯然a1=5,b2=6,a2=b1=0一組解，現在考慮這組解是否可以在棋盤上操作，而不讓棋子跑出棋盤外。下圖就是這組解的移動情形，其中
是移動向量(3,4)，而
是移動向量-(2,3)：
是移動向量(3,4)，而是移動向量-(2,3)：
因此，在不跑出棋盤限制範圍的情形下，我們可以將棋子移動到坐標為(3,2)的點。
接下來仿照前面的向量作法，考慮「是否可以將棋子移動到坐標為(2,4)的點？」由
(2,4)=a1(3,4)-a2(3,4)+b1(2,3)-b2(2,3)
=(a1-a2)(3,4)+(b1-b2)(2,3)
並令a=a1-a2,b=b1-b2，整理得二元一次聯立方程組
解得
即a1-a2=-2,b1-b2=4。顯然a2=2,b1=4,a1=b2=0是一組解，現在考慮這組解是否可以在棋盤上操作，而不讓棋子跑出棋盤外。下圖就是這組解的移動情形，其中
是移動向量-(3,4)，而
是移動向量(2,3)：
是移動向量-(3,4)，而是移動向量(2,3)：
因此，在不跑出棋盤限制範圍的情形下，我們可以將棋子移動到坐標為(2,4)的點。
不僅在棋盤上可以玩移動遊戲，甚至於在方格上也有移動遊戲，讓我們考慮底下這道成功大學申請入學的問題：
在一個7×9的棋盤上任一格出發，可以向上、下、左、右四個方向移動，走遍每一格子之後（每一格子剛好走過一次）再回到原來的格子。
問：這樣的路徑存在嗎？（存在的話舉例，不存在的話需證明）
讓我們再次利用向量解題：將出發點當成原點，此時向右﹑向左﹑向上﹑與向下所對應的向量為(1,0), (-1,0), (0,1)與(0,-1)，並令向右總共走x1步，向左總共走x2步，向上走y1步，向下走y2步。因為最後回到出發點，所以
x1(1,0)+x2(-1,0)+y1(0,1)+y2(0,-1)=(0,0),
得到x1-x2=0,y1-y2=0。又在7×9棋盤上，需走7‧9=63步才有可能回到出發點，考慮總步數得到x1+x2+y1+y2=63，即2(x1+y1)=63。這方程式不可能有整數解，故路徑不存在。
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