運籌於帷幄之中,以空間換取時間,決勝於千里之外。
               
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
玩電腦上的遊戲到底利多還是弊多?我教過一位女大學生,高中時因愛玩電玩遊戲「楓之谷」,高一、高二多是資優班倒數,高三才發憤圖強,順利考上公費生;讀博士班時,我的室友每天都玩電腦上的遊戲,沉溺到連指導教授都經常來關切;最近,樓下的鄰居說:「他兒子最近被電玩遊戲迷住了,連補習都不想去上。」諸如此類的情形,在中學或大學應該是很普遍的現象。我孩子就讀的小學,有一間超過百坪大的教室,裡面擺滿兩三百種益智小遊戲,坊間看得到的都在裡面,而且每位小朋友每學期都要上六次「數學探索」的課程,其實就是在探索那些益智遊戲。我當了一學年的數探志工,覺得這課程還不錯。究竟沉溺於電玩遊戲跟玩益智小遊戲要如何區別呢?我們可以慎選出具有啟發或啟蒙意義,又不會讓小孩沉溺於其中的遊戲嗎?
 
最近,心理學家發現,休閒放鬆類的簡單小遊戲才能提高快樂感,達到減壓效果。據美國媒體報導,美國俄亥俄州立大學傳播和心理學教授布拉德‧布希曼等人招募了一些志願者玩不同種類的遊戲,研究人員清楚地發現,那些玩休閒小遊戲的人自我感覺更舒服、更快樂,能體驗到較多的正面情緒;而玩暴力遊戲的人則攻擊性和侵略性增強。此外,玩了一會兒休閒小遊戲,比如和小動物互動之後,人們會變得更親切,更願意主動幫助他人。希望本章所要介紹的遊戲,也是心理學家們發明的「圍貓遊戲」可以達到這個效果,甚至超過這個功能,達到啟蒙的意義。
 
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半張棋盤上的45顆棋子騰空躍起,一匹馬以敏捷的馬步迅
速地將它們串連成了一條直線,避免所有棋子散落一地。

作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農

在1783年,晚餐後,尤拉一邊喝著茶一邊和小孫女玩耍,突然之間,煙斗從他手中掉了下來。他說了一聲:「我的煙斗」,並彎腰去撿,結果再也沒有站起來,他抱著頭說了一句:「我死了」,尤拉停止了生命和計算。尤拉是數學史上最多產的數學家,現在常用的數學符號很多都是尤拉所發明的,例如:函數符號 ,圓周率 ,自然對數的底以及虛數單位 等。

尤拉恆等式

曾經被兩本數學雜誌評選為史上最漂亮數學公式的第一名。尤拉本人也非常喜歡這恆等式,原因是式子中的0與1分別是加法與乘法的單位元素,式子中還有加法、乘法與次方三種運算,並且涵蓋複虛數 及圓周率 兩個重要的數學符號。下圖則是尤拉注視著現代蘋果電腦公司在i-phone手機背殼上所刻的尤拉恆等式。

 

←尤拉

 

閱讀全文:象棋棋盤上的數學遊戲…老馬識途

有稜有角的正三角形,四平八穩的正方形與圓融肚量大的正六邊形是鑲嵌平面的不二人選。

作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農

俄羅斯出身的學者蓋姆(Andre Geim)與諾伏西羅夫(Konstantin Novoselov)共同獲得2010年諾貝爾物理學獎,他們是研究石墨烯(Graphene)的先驅,而這種薄膜號稱是21世紀的神奇材料。瑞典皇家科學院讚揚石墨烯是「完美的原子晶格」,因為這種材料在電腦、家用裝置和運輸方面都有很大的發展潛力。石墨烯的厚度只有一個原子,是世界最薄卻也是最堅強的奈米材料,幾乎透明,特性是電阻極低,電子跑的速度極快,幾乎是沒有質量的粒子才能有的特性,速度只比光子慢了三百倍,比現行的半導體矽材料快了至少十倍,是非常好的導體。因此,石墨烯被看好是可能取代矽半導體的材料。瑞典皇家科學院讚許蓋姆和諾伏西羅夫說,他們「證明了碳以如此平面形式呈現時,擁有卓越的特性,這種特性源自量子物理學的奇異世界」。

閱讀全文:藝術上的密鋪平面…艾薛爾的跨界之旅

數缺形時少直覺,形少數時難入微。

作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農

西元前287年,阿基米德出生在古希臘西西里島東南端的敘拉古。在當時古希臘的輝煌文化已經逐漸衰退,經濟、文化中心逐漸轉移到埃及的亞歷山卓城。9歲時,阿基米德到埃及的亞歷山卓城唸書,在這裡跟隨許多著名的數學家學習,包括有名的幾何學大師─歐幾里得。在經過許多年的求學歷程後,回到故鄉─敘拉古。據說阿基米德經常為了研究而廢寢忘食,走進他的住處,隨處可見數字和方程式,地上則是畫滿了各式各樣的圖形,牆上與桌上也無法倖免,都成了他的計算板,由此可知他旺盛的研究精神。

阿基米德的科學以惡作劇、謎題及走捷徑而聞名,他也喜歡答案超大的數學問題,其中有兩個問題跟我們這個時代有密切的關連,《牛群問題》是上世紀中葉才得到完整的答案,而《胃痛拼圖》卻是上世紀末才被重新挖掘出來的遊戲。在阿基米德死後的2200多年的今日,我們有幸與這兩個數大就是美的問題邂逅,算是緣分也是福氣。

閱讀全文:阿基米德的胃痛拼圖…數大就是美

九宮者,二四為肩,六八為足,左三右七,戴九履一,五居中央。

作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農

數學謎語,兒歌與遊戲,現在統稱為休閒數學,而休閒數學的一個里程碑係發生在公元前2000年的黃河岸邊。據說大禹治水的時候,看到一隻烏龜爬出洛水水面,這是一隻神龜,龜甲上有黑白點的圖案,代表1到9,排成格狀,如下圖:

           

像這樣一個正方形,裡面的數字是由1開始的連續整數,每一行,每一列及兩條對角線的和都相等,稱之為「幻方」、「魔方陣」或「縱橫圖」,而中國人稱這個正方形為「洛書」(任意一行、任意一列以及兩條對角線的數字之和都是15),歐洲人直到十四世紀才開始研究幻方,比中國人遲了近兩千年。南宋數學家楊輝在1275年所著的《續古摘奇算法》書中提到幻方的要訣為「戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足」。

我們有八種方式排列1到9的數字,使得所形成的3x3方塊成為幻方,但是這八個幻方經過旋轉或鏡射後,事實上都是同一個,如圖所示。因此,三階的幻方只有洛書這一個而已。      

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