43 分球遊戲…讓數字說話
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分類：戲說數學
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發佈於：15 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
在數位時代裡，所有產品都科技化，電子產品就是由0與1兩個簡單的數字所組合而成。在統計的世界裡，讓統計數字說話是無可避免的傾向。處理數字與解讀數字成為現代人的當務之急。可見瞭解數字，特別是清楚整數的性質，是很重要的一門學問。就讓我們以一道分球遊戲來測試讀者對整數的瞭解。
拿出12顆球讓甲﹑乙兩人分，首先甲將12顆球排成3×4的長方形，然後將最後一列的4顆球取走，如下圖所示，黑色球代表被甲取走的球：
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接下來乙將剩下的8顆球排成4×2的長方形，同樣將最後一行的2顆球取走，如下圖所示，黑色球代表被乙取走的球：
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接著輪回甲，將剩下的6顆球排成6×1的長方形，並取走最後一行的1顆球：
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接下來乙將剩下的5顆球排成5×1的長方形，並取走最後一行的1顆球：
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接著輪回甲，將剩下的4顆球排成2×2的長方形，並取走最後一行的2顆球：
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接下來乙將剩下的2顆球排成2×1的長方形，並取走最後一行的1顆球：
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最後輪到甲，需將剩下的1顆球排成長≧2的長方形，但這不可能，所以甲輸。
仿照這樣的規則所進行的遊戲，就是我們要談的分球遊戲：
甲﹑乙兩人輪流玩分24顆球的遊戲，遊戲程序是這樣的：甲將24個球排成長方形（長a個，寬b個，並要求a≧2），然後將最後一行的b個球拿走。接下來乙將剩下的球也排成長方形（長與寬的要求同甲），同樣拿走最後一行的球。仿照這樣的規則，甲﹑乙輪流取球，最後無法將剩球排成長≧2的長方形者輸，即取完剩1顆球者贏。
試問：誰有必勝的策略？又其策略為何？
分球遊戲的另一種說法是這樣的，給定n個球，甲﹑乙兩人輪流取球，每次從剩下的球中，取走這剩下球數的因數個，但不可以全部取走（例如，當剩下6顆球時，可以取走 1, 2或3顆球，但不能取走全部的6顆球），無法取球者輸。到底什麼情形下會發生無法取球呢？那一定是剩下的球只剩1顆的狀況，即取完之後，剛好剩下1球的人贏。
論奇談偶是小學生學會分辨正整數
1,2,3,4,‧‧‧
所代表的意義之後，所必須學會的一種分門別類的數學概念。這種二分法的分類方式，在日常生活中也經常碰到，例如搬弄是非，道人長短，存款增減，股市漲跌等，都是將事情簡單化成兩個對立的層面來談的意思。但是將正整數分成奇數與偶數兩大類，可能比你所想像的複雜多了，原因就在於它是有數學涵意的。就讓我們利用奇偶概念揭開這道分球遊戲的神秘面紗。
如果剩下的球數為k顆時，那麼以k的奇偶討論如下：
(1) 當k是偶數時，令k=2a，可以將剩下的球排成2a×1的長方形，在取走最後一行的 1顆球後，剩下2a-1顆球，即剩下奇數顆球。
(2) 當k是奇數時，如果k=1，無法操作，輸；如果k是大於1的奇數，設這k顆球排成a×b的長方形，顯然a與b都是奇數，又根據要求a≧2，所以在取走最後一行的b顆球後，剩下ab-b=(a-1)b<顆球。因為a-1是偶數，所以會剩下偶數顆球。
<顆球。因為
從討論中得知：當操作完後，讓剩下的球數變成奇數顆時，對手不是輸球（剩下1顆球），就是對手在操作完後剩下偶數顆球（剩下超過1顆的奇數顆球）。又可以將偶數顆球再次操作完讓它變成奇數顆球。所以只要操作完，讓剩下球數為奇數顆者可以取得勝利。因此，本遊戲開始有24顆球，先玩的甲可以有如下兩種贏的策略：
① 將球排成24×1的長方形，取走1顆後，剩23顆球。
② 將球排成8×3的長方形，取走3顆後，剩21顆球。
也就是說，當輪到你操作時，若剩餘的球數為偶數，則可以贏得比賽，但若為奇數，也不用氣餒，可以等對手犯錯（給你偶數個剩餘的球），再贏回來。總之，懂得奇偶操作的人，會有最大的取勝機會。
這道分球遊戲可以推廣到多堆的情形，甚至也可以稍微改變一下取球的規則。
最後讓我們來欣賞一道有意思的移球遊戲：首先將10顆球隨意的並排在一起，如下圖中的第一圖所示，然後將最底下的那一列球移到下方，如下圖中的第二圖所示，接著將上方的球下降並靠攏，如下圖中的第三圖所示，最後將移走的那一列球豎起來擺回球堆的最右行，如下圖中的第四圖所示。我們將這四個步驟的移動稱為一次操作，當最原始的10顆球隨意的並排在一起後，可以無止境操作下去，每一次操作之後會得到新的10顆球的排列。
有興趣的讀者可以想想，在多次操作之後，球的並排方式會趨於穩定或毫無章法呢？我們也可以討論：將10顆球改為n顆球的情形。
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