作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
英國哲學家培根說:「歷史使人明智;詩歌使人靈秀;數學使人周密;科學使人深刻。」雖然數學訓練使人的思考有了周密性,但是數學教材卻是讓人有既抽象又冰冷的感覺,常使人還未學習就先發抖。科學例子就常扮演雪中送炭的角色,像冬天裡的一把火,溫暖人心。例如,伽利略的自由落體實驗讓人深刻的瞭解到「二次函數與向空中拋一顆石頭所產生的拋物線路徑是密不可分的」。瞧!這簡單的科學實驗,就可以讓人深刻的記住抽象的二次函數的性質及其函數圖形,而且這種記憶是餘音繞腦,一輩子都忘不了。也就是說,「科學使人深刻」代表學習過程中加入較多的科學或生活中的實際例子,會使人對數學有較好的記憶與思考。
 
《高中數學珍寶》是一本基於上述理念而寫的書。其目的有兩個:
(1) 提供豐富的科學實例與生活情境素材,特別重視數學建模試題,讓教師或學生知道「為何學習數學」及「學習數學的重要性」。誠如《美國數學月刊》主編鮑爾‧哈爾莫斯所說的「問題是數學的心臟」,只有優良的題目才能達到事半功倍的學習效果。
(2) 讓學生在高中教材學習之後有反芻精進的機會,學生學習了抽象的數學定義、公式與定理之後,最重要的是加深,加廣與統整的能力。本書基於此原則,在章節的取名與每章開宗明義的圖騰設計上,都盡可能的貼和題意與迎合數學的未來展望。
 
最後,引用德國數學家高斯說過的話:「數學是研究現實世界中的數量關係和空間形式。簡單的說,就是研究數與形的科學。」因此,數學裡的代數學與幾何學就如同人的雙腳。當左、右腳長短不一時,走起路來就會顛頗,不良於行;唯有兩腳平行發展,均勻對稱,才能健步如飛。所以高中的代數與幾何課程是需要均衡學習,穩健發展,缺一不可的。只有將兩者融合為一,才能透視與解決較多的數學問題。這也是本書在選材上的重要考量之一。
 
本書的大部分內容在國立臺灣師範大學數學系的教學碩士班課堂上使用過,也一併感謝嘉義高中陳勇政老師、國立臺灣師範大學數學系林建位呂正基郭家瑋研究生,南婷婷大學生的研讀與校對。本書適用於教師補充教材的選材,學生加深、加廣教材及數理資優班的研讀教材。
 
 
許志農  敬上
2014年三月
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
數學解題的首要任務就是要確定研究的對象與探討的範圍。為了釐清研究的對象與探索問題的範圍,我們需要制訂一個暨好用、又方便的名詞,於是「集合」一詞便誕生了。自從德國數學家康德於1871年給出集合的定義之後,現在的數學問題大多使用集合這個概念來描述與思考。有了集合這道工具,接下來的數學思維就較有系統了。
 
閱讀全文:1 數學詩篇的創造者……集合與邏輯
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
就像達爾文的「物競天擇,適者生存」的理論,數學上的新觀念,大部份都是經過長期的醞釀,演化而來,函數就是一個最好的例子。德國數學家萊布尼茲在1694年首先提到函數(function)這個字眼,這也是函數一詞最早出現在數學文獻裡的紀錄。至於f(x)作為一般函數的符號是在1734年時,瑞士數學家尤拉首先採用的。說也奇怪, function 在字典上是『起作用』的意思,但是在1859年時,清末數學家李善蘭卻將function一字中譯為『函數』這麼奇怪的名詞。事實上,李善蘭的譯法是很有數學深意的:意指將變數x放入f內,讓它起作用製造出新變數f(x)
 
閱讀全文:2 函數之美
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
數學王子高斯(與阿基米得、牛頓被譽為史上最偉大的三位數學家)曾說:「數學是科學的皇后,而數論是數學的女王。」他在1801年的名著《算術研究》奠定了近代數論的基礎,不但是數論領域的劃時代鉅著,也是歷史上最有代表性的數學著作之一。難怪集合論的創始人康德這樣評價此書:《算術研究》是數論的憲章。高斯在24歲出版的《算術研究》開創了現代數論的新紀元,書中出現有關正多邊形的作圖(正十七邊形),方便的同餘記號以及優美的二次互反定律的首次證明等。
 
閱讀全文:3 數學的女王……數論
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
『負數』的誕生,一方面是由於生活的需要,例如「表示企業的盈餘與虧損」、「某一時刻之前與之後(如:公元前與公元後)」、「溫度在0℃以上與以下」等,都需要表示兩種具有相反意義的量之正數與負數。另一方面是從數學本身的需要,例如:負數,─1,是為了解方程式“+1=0 ”而引進的。在數學發展中,負數的引進,經歷了一段漫長的過程,從中國古代數學名著《九章算術》的記載,得知在中國提出負數與負數運算,比其他國家早了幾世紀。在西方,印度數學家婆羅摩笈多是第一位對負數的運算作系統研究的數學家。
 
閱讀全文:4 巧奪天工的發明……實數與複數