48 楊輝的魔術…二項式係數的奧妙

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

下圖是楊輝繪畫的「古法七乘方圖」，此圖每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大，然後變小，回到1，而且每個數字等於上一列的左右兩個數字之和，利用這個性質就可以寫出整個楊輝三角形。西方稱楊輝三角形為帕斯卡三角形。

將楊輝三角形中的數字用一般數字表示就是

根據規則，可以將楊輝三角形往下無限延伸。有許多跟楊輝三角形有關的有趣性質，例如研究每一行奇數（或偶數）出現的次數。又楊輝三角形中的數除了1之外，有越來越大的趨勢，所以每個大於1的正數都只會出現有限次，例如6僅在楊輝三角形中出現三次，但似乎還找不到恰好出現六次的數。

三角形不僅在幾何上扮演重要的角色，類似上圖的三角形數字圖也被楊輝及後來的數學家發現許多用處。這裡我們來玩一道倒三角形上的數字謎題：隨意選取6個數字排成一列，以選取

2,3,-4,5,-6,4

這六個數字來說，將相鄰的兩個數字相加會得到五個數字，即5=2+3,-1=3+(-4),1=(-4)+5,-1=5+(-6),-2=(-6)+4這五個數字，將它們排成一列為

5,-1,1,-1,-2

再將相鄰的兩個數字相加，又會得到四個數字為

4,0,0,-3

依照這樣的規律進行下去，在操作五次之後會得到一個數字。為了方便起見，把這五次操作寫成如下的倒三角形：

倒三角形最後的數字為1，關於最後所得到的數字，可是個有趣的謎題：

老師叫學生在心裡想六個數字並依序寫在紙上（排成一列），然後依照上述的操作模式，

在五次操作後會得到一個數字。

老師說：「只要告訴我頭尾兩個數字，我便可以猜出最後那個數字除以5的餘數。」

設六個數為a,b,c,d,e,f，並圖示其五次操作如下：

我們發現最後所得到的數為

a+5b+10c+10d+5e+f.

因為5b+10c+10d+5e是5的倍數，所以a+5b+10c+10d+5e+f除以5的餘數就是頭尾兩數相加除以5的餘數。

附加檔案：
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