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分類:《與奇人相遇的故事》
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發佈於:28 十月 2013
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作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
與奇人相遇的故事發生在它該發生的時候:你無法安排它,你無法使它發生。它是經由你的時時注意,耐心等待下,在一個不可預料的時、地忽然發生的;它不可能是在透過刻意培養或者經由頭腦強烈期待下誕生。
與奇人相遇會讓你有如拈花微笑的迦葉一樣,瞬間開悟,找到那問題的最後一塊拼圖;與奇人相遇也會讓你看到現代阿基米得,光溜溜的跳出浴缸大喊「我發現了」的神情。奇人就是隨身帶著火把,如影隨形,走到哪,亮到哪,摸索開關對他來說是多餘的。《與奇人相遇》是在描述或追憶過去十年來,在我的教學或演講現場,與我有過深深互動的幾位老師或同學。由於當時他對討論問題的瞥見,讓我得到了那個問題的最後一塊拼圖或者讓我看到一位現代阿基米得,光溜溜的跳出浴缸大喊「我發現了」的神情。我把這與他交流的時刻稱做“與奇人相遇”,因為在這個特殊的問題與特殊的時間點上,他的確像是一位奇人,他有很出神入化的看法跟解讀。為了不讓這些瞥見消失,每次我都會在事後細心的回顧與整理當時的數學資料,讓我對這個數學問題的瞭解更上層樓。所以這些“奇人”是讓我數學進入另一個高度的最後一塊拼圖。每當我在中學演講,講到那個數學問題,我都會想到他們那不可思議的瞥見,也會儘所有可能,將他們的瞥見傳遞給在場聆聽的每個人。
我之所以稱他們為奇人,就是因為在那些問題上,他們的表現與凡人大相逕庭。所謂凡人就是當他處在一間黑暗的房間時,他只能借助摸索,推理或想像去尋找燈的開關位置;而奇人就是隨身帶著火把,走到哪,亮到哪,摸索開關對他來說是多餘的。凡人總是喜歡隨身攜帶一長串的鑰匙,逐一嘗試哪把才能打開門鎖;而奇人就是隨身帶把萬能鑰匙而已,每個門鎖都難不倒他。
有一天早晨,在系辦看到剛到學校的王老師從前、後口袋掏出三大串鑰匙,少說也有二十幾把以上。我問他:「需要帶這麼多鑰匙嗎?」他回答說:「家裡,車子及辦公室的,共三串。」當你在路上撿到一把鑰匙時,不會覺得它很重要,甚至不想檢它,因為你不知道什麼時候,在哪裡用它,你把它當成塑膠與金屬的混和物而已,但是對遺失鑰匙的人來說,它可是至關重要的,因為他知道何時,何地及如何使用它,沒有它就進不了門。我在想「如果王老師能夠練成像神偷那麼靈巧的雙手,那麼只需隨身攜帶一支小鐵絲就夠了。」學校或補習班老師常常在幫你打鑰匙,你滿腦子攜帶了他們給你的鑰匙。很沈重的鑰匙,你又很緊張,深怕掉了任何一把鑰匙,做不了題目,考試失算。聰明一點的老師或學生自己,可以將這些鑰匙整合成一把,就像神偷所擁有的小鐵絲那一把一樣,這樣頭腦不僅放鬆,走起路來也輕盈,考起試來也有信心,但是唯一的缺點就是「神偷」兩個負面的字。奇人就是連神偷的那把小鐵絲也不需要攜帶的人,它是徹底的放鬆,真正的輕盈。帶著神偷的小鐵絲是假的放鬆,是贗品,是放鬆的冒牌貨。
頭腦是一個奇怪的設計,存在頭腦裡面的總是不完美,不美麗,不完全或不完整的知識。每當老師教授的數學深層意義還沒被你瞭解時,這些數學知識就會一直寄放在頭腦,讓頭腦感受到緊張與沈重的壓力。所以當數學深層的意義不被瞭解時,你就無法達到頭腦的平靜。
欲讓頭腦達到平靜,不被寄放的數學知識所困擾的方式有兩種:一種是放鬆…達到可以讓頭腦放鬆的接受數學知識的境界;另一種是放棄…假的放鬆,它是放鬆的贗品,替代物,或冒牌貨,他會讓你離放鬆更遙遠。奇人就是懂得放鬆的登山高手,他攜帶著沈重的裝備,在攻頂的路途中,逐漸的卸下這些壓力與重擔,只有放鬆與輕盈的狀態才容易登峰造極,奇人更懂得如何在沒有裝備的情形下,可以像有裝備般的安然下山,化阻力為助力,這就是放鬆的最高境界,也是奇人的本色。
許志農 敬上
2013年十月
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分類:《與奇人相遇的故事》
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發佈於:28 十月 2013
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作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
台大附近,汀州路旁,新店溪邊的師大分部是我大學讀書成長的地方,也是我從事教學﹑學術研究的地點。三月的暖陽從蟾蜍山上斜照全校園,來自全國的十來位數學資優學生,在數學館三樓的 M310 教室一起探索數學的奧秘,他們無暇欣賞這美景。吸收教授的數學課程,考好試,當選只有六個名額的國手才是他們此行的目的。《算術講義》是我所教授的一系列課程之統稱。在這課程裡,不僅教授代數﹑數論,也涵蓋一點組合﹑幾何與不等式。剩下十來人的課程安排,通常上課兩個小時,做練習一個小時。記得有一次,我給的練習是取自前蘇聯的一道立體幾何問題,它是一道幾何不等式問題,看起來是道難題。
學生絞盡腦汁的想這個問題,我以愉快的心情巡視並欣賞他們的解題過程。通常能擠進這一關的女生僅有一﹑兩位而已。奇蹟就發生在一位穿著綠衣黑裙的小綠綠同學身上。在巡視的過程中,忽然在小綠綠的考卷上看到「想要解決這道幾何問題,需先證明一個引理:
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發佈於:28 十月 2013
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作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
到深坑老街吃豆腐,促進地方經濟繁榮,是每位台北人一生必做的功德之一。不過再深入一點,造訪繁華落盡的石碇東、西老街,可能就興趣缺缺了。我對石碇的第一印象是從電視台主播廖筱君的介紹性節目「石碇東街吊腳樓」得來的,印象中,她介紹在石碇東、西老街上捕捉美景的一些畫家。第一次造訪石碇是為了當地一所完全中學要招考高中數學教師的事宜與對新成立的高一資優班演講而來。校長的宿舍就建在學校內,背後是山坡,好像生活在深山一樣,學校連午餐都是自理兼自助式的。當年還年輕的我,真有一點嚮往。此行的目的就是出一份數學考題,讓學校招考高中部的數學老師。如果要命一道不等式問題,最簡單莫過於拾人牙慧,我也常做這樣的事。我將上一章中,小綠綠所發現的不等式引理當作此次考試的考題之一:
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發佈於:28 十月 2013
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作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
最近收到一封《致許教授的一封信》的 e-mail,將其中的一段文字摘錄如下:我是86級的學生,當年大二時修你開的代數課程,慚愧得很,在我渾渾噩噩的大學生涯中,那算是唯一留下痕跡的科目吧(因為…有用心過!)。畢業近十載,我向你致上最深的謝意!也在畢業近十載後,才漸漸懂得求學問的樂趣,懂得欣賞數學的美!偶然在你的網頁上,看到一則由小綠綠同學發現的不等式題目:
題目:設p,q,r是三個滿足
0<p,q,r<1的實數。證明
pq+qr+rp-2pqr<1.
看過小綠綠同學及那位高中老師的立體模型解法,果真令人拍案叫絕,驚嘆一聲 Aha!自己也情不自禁的試了一下(精確的說,是試了很多下),以下是個人的解法…。
屈指算來,在國中教書的這位老師應該是我到師大服務第二年教到的學生。其實隔天他再傳一封 e-mail 給我,說他想到使用機率的概念來解此不等式。談到機率,一般會想到樹狀圖與文氏圖兩種方法,它們是將機率問題幾何化的方法。說來大家可能不相信,文氏圖的歷史還不到兩百年,為什麼人類這麼晚才將文氏圖用在數學解題上,我也搞不太清楚?不過什麼叫文氏圖,如何定義才完善,也是個麻煩事。美國數學家菱克沙恩給過文氏圖定義,稱其為「一個集合的符號表示法,用平面的某個部分來表示所考慮的對象,用某條封閉曲線內部的點來表示一個集合。」
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發佈於:28 十月 2013
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作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
透過遊戲的互動,傳達數學的概念,是我一直想做的事情。但是,恰當的數學遊戲不多見,不是坊間已有解答,就是無法精準的傳遞數學概念,或者遊戲本身不具有任何數學規律或意義。感謝建中紅樓人的幫忙,讓我對一道有興趣的遊戲有更上一層樓的理解,或者說找到那道遊戲的最後一塊拼圖也可以。
星期三下午,陰霾的天氣籠罩著台北城,即使天氣不好,也沒辦法澆熄建中學生對數學真理追求的熱情。每次到建中演講,我都喜歡採取不一樣的演講策略,或者說是一種試驗或試探的策略,在一般學校的演講,我不敢也不能採用這種模式。在“ㄇ”字形的演講場地,最適合讓學生玩數學遊戲,因為學生的互動容易,討論方便。建中的數理資優教室就是排成“ㄇ”字形。記得那次演講給了幾道數學遊戲,其中有一道叫「蓋房子」的遊戲:
題目:下圖的16個黑點中,兩人輪流在左右或上下相鄰的兩個黑點中間畫一筆。如果正好有4筆圍成一個小正方形(稱它為一間房子),這房子是屬於畫第四筆的人所有。佔有最多房子的人勝。