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分類：Alexander Bogomolny 勾股證明
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發佈於：28 七月 2016
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點擊數：854
作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
「畢氏定理」又稱為「商高定理」或「勾股定理」，幾千年來，人們給出了畢氏定理的各種不同的證明，現今關於此定理的證明已超過600 多種，而且還在持續增加當中，是數學定理中證明方法最多的定理之一。
魯米斯(E. S.t Loomis, 1852-1940)是一位數學家、哲學家、作家、系譜專家和土木工程師，除此之外也是一位美國數學教師，他蒐集到371個來自世界各地，縱貫古今的畢氏定理證明方式，並寫成《畢達哥拉斯定理》(The Pythagorean Proposition)一書。本專欄的前半部就是在展示這371個勾股定理的證明。
而網頁興起之後，Alexander Bogomolny也在自己的網頁上搜集了111 個畢氏定理的證明。這裡就是要展示Alexander Bogomolny蒐集到的中文證明。
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分類：Alexander Bogomolny 勾股證明
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發佈於：29 八月 2016
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點擊數：806
【作輔助圖】
1.直角三角形\(ABC\)，從\(B\)作\(\overline { AC } \)的平行線，並從\(A\)作\(\overline { BC } \)平行線，兩線交於\(D\)。
2.分別過\(A,B\)作\(\overline { AB } \)的垂直線，並過\(C\)作\(\overline { AB } \)的平行線，與兩垂直線交於\(E,F\)。
【求證過程】
先以直角三角形\(ABC\)的\(\overline { AB } \)為長方形的一邊，作長方形使直角三角形的頂點落在長方形的對邊上。另外以\(\overline { AB } \)為長方形的對角線，再作一個長方形。我們可以先證明輔助線切割出來的四個三角形皆為相似的直角三角形，再利用大五邊形的兩種面積拆解計算方式，再透過簡單的代數運算整理，即可得到畢氏定理的關係式。
閱讀全文：勾股定理證明-Bog008
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分類：Alexander Bogomolny 勾股證明
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發佈於：29 八月 2016
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【作輔助圖】
1.先以直角三角形\(ABC\)以\(\overline { AB } \)為向內作正方形\(ABDE\)。
2.接著過\(E\)對\(\overline { AC } \)作垂直線，並交\(\overline { AC } \)於\(F\)，再過\(D\)對\(\overline { AF } \)作垂直線，並交\(\overline { AF } \)於\(G\)。然後延伸\(\overline { BC } \)交\(\overline { DG } \)於\(H\)。
3.接著過\(D\)作\(\overline { HB } \)的平行線，並過\(B\)作\(\overline { GD } \)的平行線，交於\(I\)。
4.以及過\(A\)作\(\overline { HB } \)的平行線，交\(\overline { IB } \)的延伸線於\(J\)。
5.最後延伸\(\overline { EF } \)交\(\overline { BJ } \)於\(K\)。
【求證過程】
先將直角三角形\(ABC\)以斜邊為邊向內作正方形，接著若以適當的輔助線將大正方形切割，經過切割能得到四個全等的直角三角形及一個正方形；接著想像我們可以移動其中兩塊直角三角形，移動後非常清楚地它們恰好會變成兩個小的正方形。也就證明了畢氏定理的關係式。
閱讀全文：勾股定理證明-Bog010
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分類：Alexander Bogomolny 勾股證明
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發佈於：28 八月 2016
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【作輔助圖】
1.分別以直角三角形\(ABC\)的\(\overline { AB },\overline { AC },\overline { BC } \)三邊為邊，向外作正方形\(ABDE\)、正方形\(ACFG\)以及正方形\(BCHI\)。
2.接著延伸\(\overline { GF } \)及延伸\(\overline { IH } \)相交於\(J\)。
3.然後延伸\(\overline { EA } \)交\(\overline { GJ } \)於\(K\)，並且延伸\(\overline { DB } \)交\(\overline { IJ } \)於\(L\)。
4.最後連\(\overline { JC } \)並延伸，與\(\overline { AB } \)交於\(M\)，與\(\overline { DE } \)交於\(N\)。
【求證過程】
直角三角形\(ABC\)的三邊為邊往外作三個正方形，並作適當的輔助線後，我們要證明那二塊小正方形的面積和等於大正方形的面積。而為了達到這個目的我們必須先證明一組直角三角形的全等。
接著以推移的概念說明兩個小正方形各別有對應的平行四邊形面積和他們相等，並且這兩個平行四邊形的面積也各別與大正方形分割出的兩個長方形面積相等，也就可以推論出小正方形的面積和等於大正方形，因此得到了畢氏定理的關係式。
閱讀全文：勾股定理證明-Bog012
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分類：Alexander Bogomolny 勾股證明
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發佈於：28 八月 2016
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【作輔助圖】
1.直角三角形\(ABC\)中，在\(\overline { AB } \)上任取一點\(D\)，並且從\(D\)作\(\overline { AC } \)的平行線，與\(\overline { BC } \)相交於\(E\)。
2.再過\(E\)作\(\overline { BD } \)的垂直線，與\(\overline { AB } \)相交於\(F\)。
【求證過程】
不難發現這些直角三角形均為相似形，就可以利用相似形的邊長成比例性質，推導出畢氏定理關係式。
閱讀全文：勾股定理證明-Bog013