魯米斯勾股證明(向量篇) - 非想非非想數學網

【作輔助圖】

【求證過程】

根據方向向量的合成關係，以及兩向量的夾角為直角時，其內積為0的性質，再利用向量長度的平方來推出勾股定理的關係式。

【作輔助圖】

1. 延長\(\overrightarrow { BC }\)，並在\(\overrightarrow { BC }\)上取一點\(D\)，使得\(\overline { BC }=\overline { CD } \)。

2. 連接\(\overline { AD } \)。

【求證過程】

根據方向向量的合成關係，以及在向量的內積與長度間作轉換，並由線段的中垂線上任一點到兩端點等距之性質，整理式子推出勾股定理的關係式。

【作輔助圖】

1. 將直角三角形\(ABC\)視為長方形\(ADBC\)的一半，而\(D\)點是長方形\(ADBC\)的其中一個頂點。

2. 連接\(\overline { AD } \)、\(\overline { BD } \)、\(\overline { CD } \)。

【求證過程】

根據方向向量的合成關係，以及在向量的內積與長度間作轉換，並由長方形兩條對角線等長之性質，整理式子推出勾股定理的關係式。

【作輔助圖】

1. 以\(A\)為圓心，\(\overline { AB } \)為半徑，作一個圓。

2. 延長\(\overleftrightarrow { AC }\)，分別交圓周於\(F\)、\(G\)，則\(\overline { FG } \)為此圓之直徑。

3. 作另一條直徑\(\overline { HI } \)，使得\(\overline { FG } \bot \overline { HI } \)。

4. 在圓上取另一點\(D\)，使得\(\angle DAI=\angle BAI\)，並連接\(\overline { BD } \)，使之交\(\overline { HI } \)於\(J\)點。

5. 在\(\overline { AF } \)上取一點\(E\)，使得\(\overline { AE }=\overline { DJ } \)。

【求證過程】

根據方向向量的合成關係，以及在向量的內積與長度間作轉換，並由圓半徑的長度相等，整理式子推出勾股定理的關係式。