作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

測量與計算是一對孿生兄弟，有了測量數據後，必須借用有效的數學公式，才能經由計算得到更多想要知道的數據。相似三角形的對應邊之邊長成比例與勾股定理是國中生常用的計算公式，而正弦與餘弦定理則是高中生的計算公式。

 

劉徽的《海島算經》只有九道測量問題被留傳下來，其中的第一題可說是最經典，最常被引用的問題：

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

相信大家都在電腦上玩過彈珠台遊戲，這種虛擬，完全由程式控制的電玩遊戲好玩又方便。但真正玩過實體彈珠台遊戲的人可能逐漸稀少了。彈珠台的設計原理就是當彈珠滾到叉路時，因為碰到尖點的關係，所以往左或向右走的機會是一樣的。在路邊玩過彈珠台的人都會清楚，落在離中央越近砸道的彈珠最多。這樣的情形是那個數學原理導致的呢？就讓我們以下面造型的彈珠台來解釋彈珠台的數學原理：

 

將十六顆彈珠從頂端投入彈珠台，落在每一砸道的彈珠數目，最合理的分配為何？

 

如下圖所示，16顆彈珠從頂端投入彈珠台後，會有8顆往左，8顆向右，所以第一層的兩格以數字8, 8來呈現。接下來考慮第二層，左﹑右兩邊的8顆彈珠也是會有4顆往左， 4顆向右，所以第二層的三格以數字4, 8, 4來呈現。同樣的道理，可以知道：第三層的四格數字為2, 6, 6, 2；最後一層的五格數字為1, 4, 6, 4, 1：

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

看過韻律體操表演嗎？女韻律體操選手將繩、球、帶、環或棒拋向空中，進行各種動作的表演，實在精彩。對學數學的人來說，除了這些東西在空中所走的路徑是拋物線外，不知道還有怎樣深刻的發現。我們以繩環為例，看看你對拋向空中的繩環有何數學發現：

 

 

韻律體操選手將一長度為4a的繩環拋向空中，是否任何時刻都可以在空中畫一個半徑為a的球，讓整個繩環完全落在球的內部或者球面上？〔這裡的「繩環」是指將長4a的繩子頭尾相接所形成的環狀繩子〕

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

在蔡倫發明紙張之前，中國只能將文字書寫在竹簡（竹子）上，因為竹簡細長，所以文字只能直寫，而且沒有空間可以畫圖；同樣處於沒有紙張的西方，他們將文字書寫在紙草或羊皮上，因為紙草或羊皮是整片的，所以可以畫圖。這個小小的差異，對數學的影響是巨大的，例如歐幾里得的《原本》與阿基米德在西西里島海灘上隨手畫的幾何圖形就能夠保存到現在，但中國的數學古籍就只能靠文字相傳，沒辦法透過圖形的輔助讓後人更清楚瞭解他們的想法。阿基米德在海灘上拿著竹竿邊畫圖邊思考的解題方式跟現代人在紙張上亂塗推理的方式很接近。在中世紀文藝復興時期，搞不好會做個木工工藝或石頭雕刻來幫助理解與實際驗證所考慮的問題。但處於科技革命的時代，又多了一項解題方式…借助電腦動畫思考。

總之，目前我們至少有三種不同的思考方式…利用紙上談兵，工藝實做推敲與電腦動畫模擬。《戲說數學》盡可能把每道遊戲都寫出可在電腦上操作的 Flash 版本。至於仍無法完成 Flash 版本的遊戲，希望可以做出木工道具來實際操作一番。就讓我們來介紹這節的遊戲： 

 

在長方形的酒櫃隨意擺放完全一樣的紅酒十三瓶，如下圖所示，只要求最底層擺三瓶，其中的左右兩瓶需與側邊相切：

看起來，最上層所擺放的三瓶酒之高度一樣，真的會這麼巧嗎？