47 會洗牌的猴子…合成函數的使用

詳細內容: 分類：戲說數學; 發佈於：15 四月 2014; 點擊數：1187

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

尼采在《拜火教教主如是說》這本書裡，有一段耐人咀嚼的哲學思考：「當你見到猴子笨拙的行為時，你該覺得好笑還是自卑呢？到底是取笑猴子的不靈活，笨手笨腳的行為，還是對笨拙的猴子可以演化出人類，而我們似乎很難比牠們進步得更多感到自卑呢？」

人類之所以異於動物，主要是具有靈巧的雙手與聰明的大腦。據說一百多年前當科學家還無法瞭解頭腦內部結構時，就以頭殼的外型來測量智商的多寡。就是科學昌明的現代，還是有很多人相信皮指紋分析可以找出孩子的才能，用指紋的「渦紋」和「蹄狀紋」兩種紋路來判斷性格及命運傾向。

就讓我們來欣賞一道具有靈巧雙手，但普通頭腦的猴子所玩的把戲：

有一隻會洗牌的猴子，牠只會洗四張牌，而且每次都用同樣的模式洗牌。猴子的主人拿出分別寫著1, 2, 3, 4的四張牌給猴子，並將牌子排好，讓上而下的順序為編號1, 2, 3, 4的四張牌，如下圖的第一列所示：

猴子洗第一次牌後不讓主人看牌子的順序，接著洗第二次牌，仍然不給主人看，然後猴子洗第三次牌，並讓主人看牌號的順序。這時主人發現從上而下的牌號為

2, 4, 1, 3.

猴子的主人想了一下說：「他知道猴子洗第一次牌後，牌號從上而下的順序。」你知道嗎？

洗牌的方式有很多種，但無論如何洗，最後它總是1, 2, 3, 4這四個數字的某種重新排列，又四個數字排成一列計有

4!=4×3×2×1=24

種不同的排法，所以只需仔細討論這 24種排法中，哪一種可以在經歷三次同樣操作後，順序變成2, 4, 1, 3即可。我們把這24種排列（以下稱為洗牌法）根據其特性分成三大類：

① （有固定點的洗牌法）如下圖所示，在洗一次牌後，順序為

2, 4, 3, 1.

將這順序跟開始的

1, 2, 3, 4

比較，將會發現3號牌沒有變動。

像這種有固定點的洗牌法，無論洗幾次，固定的牌還是紋風不動。在猴子洗牌遊戲中，洗三次之後並沒有固定不動的牌，所以猴子會的洗牌法不屬於這種。

為了節操作省空間及方便解釋，在這裡我們引入函數的關係來解釋洗牌：前面所提的洗牌法（將1洗到4的位置，2洗到1的位置，3洗到3的位置，4洗到2的位置）也可以用如下的函數f來表示：

從圖中不難發現水平的對應箭號→就是不動牌3的位置。當以這樣的洗牌方式洗兩次時，會對應到合成函數f²=f^。f的結果，圖示如下：

此時，1號牌會洗到f²(1)=f(f(1))=f(4)=2的位置，2號牌會洗到f²(2)=f(f(2))=f(1)=2的位置，3號牌會洗到f²(3)=f(f(3))=f(3)=3的位置，4號牌會洗到f2(4)=f(f(4))=f(2)=1的位置。不過從圖中的合成更容易看到這樣的洗牌效果。

②（分成兩群的洗牌法）有一種比較奇怪的洗牌方法，例如洗玩之後從上而下的牌號為

2, 1, 4, 3.

這種洗牌法所對應的洗牌函數f為

從洗牌函數f的合成中發現，無論洗幾次總是1與2位置的牌互相輪換，3與4位置的牌互相輪換。又①中所舉例的洗牌函數

因為3的位置固定不動，其餘位置是1→4→2→1的輪換，所以也算是分成{3}與{1,2,4}兩群的洗牌法。

猴子所對應的洗牌函數f，因為合成三次之後為

它是1→3→4→2→1的輪換，所以猴子洗牌的函數也不屬於這一類。

③（輪換式的洗牌法）這一類型的洗牌法就是沒有固定點，也沒有分成兩群自己輪換的洗牌方法，即四張牌一起輪換的意思。我們可以用窮舉法將四張牌一起輪換的洗牌函數f列舉如下，共計六種：

因為是四張牌輪換，所以四次之後會輪到原來的位置，以f₁驗算如下：

也就是說，f₁⁴(i)=i(i=1,2,3,4)，即f₁⁴是把每個元素對到自己的函數，稱它為單位函數。因為f₁⁴,f₂⁴,f₃⁴,f₄⁴,f₅⁴,f₆⁴都是單位函數，又猴子洗牌函數f也是其中之一，所以f⁴(i)=i(i=1,2,3,4)。利用合成函數的性質f⁴(i)=f^3。f(i)=i(i=1,2,3,4)知道f與f³互為反函數。因為

所以

或

也就是說，猴子的洗牌函數f=f₂。我們驗算它的三次合成，得

此與猴子洗牌三次之後給主人看的順序一致。故猴子洗一次牌後的順序為

最後我們來做個練習，如果洗五張牌，洗三次時，牌子的次序如下圖所示，那麼洗一次之後，牌子的次序為何呢？

附加檔案：
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47 saymathsgame.pdf	449 Kb

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