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分類：戲說數學
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發佈於：15 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
在數學上，有關計算個數或比較大小的問題，除非有很好的公式可代入精確計算或比較大小，否則使用樹狀圖進行分析﹑歸類及統計是不得不的一種計算方式。同樣地，在兩人玩的遊戲中，人們也可以畫樹狀圖來進行模擬一番，只是比賽進行中樹狀圖只能在腦海裡想像，無法像解數學題目一樣，在紙張上畫。但是，樹狀圖也有它的缺點，當樹狀圖太過複雜（圖繁不及備載）以致於無法從中看出端倪時，樹狀圖的用處就被侷限了。也就是說，樹狀圖只是一種輔助思考的實體，隱藏在樹狀圖背後的規律才是解題的重點。我們來欣賞一道小學競賽的數學遊戲題：
閱讀全文：46 碩大就是美…吃雨傘節的遊戲
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分類：戲說數學
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發佈於：15 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
尼采在《拜火教教主如是說》這本書裡，有一段耐人咀嚼的哲學思考：「當你見到猴子笨拙的行為時，你該覺得好笑還是自卑呢？到底是取笑猴子的不靈活，笨手笨腳的行為，還是對笨拙的猴子可以演化出人類，而我們似乎很難比牠們進步得更多感到自卑呢？」
人類之所以異於動物，主要是具有靈巧的雙手與聰明的大腦。據說一百多年前當科學家還無法瞭解頭腦內部結構時，就以頭殼的外型來測量智商的多寡。就是科學昌明的現代，還是有很多人相信皮指紋分析可以找出孩子的才能，用指紋的「渦紋」和「蹄狀紋」兩種紋路來判斷性格及命運傾向。
就讓我們來欣賞一道具有靈巧雙手，但普通頭腦的猴子所玩的把戲：
有一隻會洗牌的猴子，牠只會洗四張牌，而且每次都用同樣的模式洗牌。猴子的主人拿出分別寫著1, 2, 3, 4的四張牌給猴子，並將牌子排好，讓上而下的順序為編號1, 2, 3, 4的四張牌，如下圖的第一列所示：
猴子洗第一次牌後不讓主人看牌子的順序，接著洗第二次牌，仍然不給主人看，然後猴子洗第三次牌，並讓主人看牌號的順序。這時主人發現從上而下的牌號為
2, 4, 1, 3.
猴子的主人想了一下說：「他知道猴子洗第一次牌後，牌號從上而下的順序。」你知道嗎？
洗牌的方式有很多種，但無論如何洗，最後它總是1, 2, 3, 4這四個數字的某種重新排列，又四個數字排成一列計有
閱讀全文：47 會洗牌的猴子…合成函數的使用
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分類：戲說數學
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發佈於：15 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
下圖是楊輝繪畫的「古法七乘方圖」，此圖每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大，然後變小，回到1，而且每個數字等於上一列的左右兩個數字之和，利用這個性質就可以寫出整個楊輝三角形。西方稱楊輝三角形為帕斯卡三角形。
將楊輝三角形中的數字用一般數字表示就是
根據規則，可以將楊輝三角形往下無限延伸。有許多跟楊輝三角形有關的有趣性質，例如研究每一行奇數（或偶數）出現的次數。又楊輝三角形中的數除了1之外，有越來越大的趨勢，所以每個大於1的正數都只會出現有限次，例如6僅在楊輝三角形中出現三次，但似乎還找不到恰好出現六次的數。
閱讀全文：48 楊輝的魔術…二項式係數的奧妙
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分類：戲說數學
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發佈於：15 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
自歐幾里得在《幾何原本》第四卷命題十一提出如何尺規作圖正五邊形以來，正五邊形的各種不同作圖方法不斷被提出。但是，簡潔﹑有力又漂亮的方法是芮奇蒙（H. W. Richmond）在1893年所想到的一種方法。讓我們來欣賞芮奇蒙關於圓內接正五邊形的尺規作圖。
如果將左圖中的圓內接正五邊形，於圓心畫上兩條坐標軸，並讓x軸正向通過正五邊形的一個頂點，如右圖所示，那麼位於第一象限的正五邊形頂點B之坐標為何呢？
閱讀全文：49 既漂亮又簡潔的芮奇蒙正五邊形作圖法…精準的數學工藝
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分類：戲說數學
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發佈於：15 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
提到高斯，大家總是聯想到
1+2+3+‧‧‧+100=5050
的故事；有時也會提到高斯是第一位證明正十七邊形可以尺規作圖的數學家；或者說高斯的數學風格是稀少，但成熟。這裡我們要引導讀者完成一則五邊形的面積公式，知道這個公式的人不多，曉得公式是高斯所發現的更少。
一般而言，從解題者的草稿紙或論證呈現次序總是可以一窺解題者的思考脈絡，就像從建築物的鷹架可以理解這建築物的搭建先後次序一樣。但是高斯卻是異數，他在完成數學作品後總是將思考痕跡擦得一乾二淨，將鷹架徹底移除。他的數學作品總是成熟，完美，讓人讚嘆，卻又看不出任何思考線索。
現在就讓我們來嘗試重建「高斯五邊形面積公式」的鷹架：俗語說得好「凡事起頭難」，但我們的起頭卻相當容易，只是大家想不到而已。你會認為
pr+q(p+q+r)=(p+q)(q+r)
是個很難的等式嗎？一點都不難，只需將兩邊分別乘開，就馬上看出相等了。雖然在中學教科書未曾出現過這個等式，但它卻是一個相當有用的公式，有人稱它為蒙日等式。
閱讀全文：50 高斯戲弄五邊形…稀少，但成熟的數學風格