49 既漂亮又簡潔的芮奇蒙正五邊形作圖法…精準的數學工藝
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分類：戲說數學
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發佈於：15 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
自歐幾里得在《幾何原本》第四卷命題十一提出如何尺規作圖正五邊形以來，正五邊形的各種不同作圖方法不斷被提出。但是，簡潔﹑有力又漂亮的方法是芮奇蒙（H. W. Richmond）在1893年所想到的一種方法。讓我們來欣賞芮奇蒙關於圓內接正五邊形的尺規作圖。
如果將左圖中的圓內接正五邊形，於圓心畫上兩條坐標軸，並讓x軸正向通過正五邊形的一個頂點，如右圖所示，那麼位於第一象限的正五邊形頂點B之坐標為何呢？
因為是正五邊形，所以∠AOB=72°，即B的坐標為(cos72°,sin72°)。又因為
，所以B的坐標為
。這B點坐標，特別是y坐標，看起來很嚇人，但是對作圖來講，只要在x軸作出點
，再作過此點的鉛直線，則鉛直線與圓的交點就是B點。事實上，我們可以在旁邊作出長度
的線段，再把此線段放在x軸。這樣雖然可行，但不夠簡潔與漂亮。讓我們來看看芮奇蒙如何一氣呵成將這些步驟整合在一起：
，所以B的坐標為。這B點坐標，特別是y坐標，看起來很嚇人，但是對作圖來講，只要在x軸作出點，再作過此點的鉛直線，則鉛直線與圓的交點就是B點。事實上，我們可以在旁邊作出長度的線段，再把此線段放在x軸。這樣雖然可行，但不夠簡潔與漂亮。讓我們來看看芮奇蒙如何一氣呵成將這些步驟整合在一起：
在下圖的單位圓中，Q是半徑
的中點，∠AQO的分角線與x軸相交於R點，過R點的鉛直線與單位圓相交於B點。連接線段
，以B為圓心，為半徑畫圓，交單位圓於另一點C，再以C為圓心，為半徑畫圓，交單位圓於另一點D，再以D為圓心，為半徑畫圓，交單位圓於另一點E。圓內接五邊形ABCDE就是正五邊形：
的中點，∠AQO的分角線與x軸相交於R點，過R點的鉛直線與單位圓相交於B點。連接線段，以B為圓心，為半徑畫圓，交單位圓於另一點C，再以C為圓心，為半徑畫圓，交單位圓於另一點D，再以D為圓心，為半徑畫圓，交單位圓於另一點E。圓內接五邊形ABCDE就是正五邊形：
證明：芮奇蒙的作法可以得到正確無誤的正五邊形。
我們唯一要驗證的是
：
：
令
。由直角三角形知
。由直角三角形知 
因為
是分角線，所以
是分角線，所以
解得
即線段
的長度為。故芮奇蒙作出的圓內接五邊形為正五邊形。
的長度為。故芮奇蒙作出的圓內接五邊形為正五邊形。| File | File size |
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