作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

『勾股定理』（一說『商高定理』或西方人說的『畢達哥拉斯定理』）與『質數定理』是幾何與數論上兩個基本且漂亮的定理。

相傳畢達哥拉斯成功地證明了勾股定理之後，感到欣喜若狂，便叫他的學生們宰了一百頭牛，舉辦了一場盛大的宴會，一連慶祝了好幾天。因此，這個定理又被暱稱為『百牛定理』。歷來勾股定理的各種證明層出不窮，直到今天為止，人們已經發現了四百多種有關勾股定理的證明。特別是在魯米司的《畢氏定理》一書就列了三百七十個之多。在這裡我們提供幾種賞心悅目、一目了然的證明：

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

不等式問題常讓人有驚奇，摸不著邊，不知從何而降的感覺。大概是因為只看到漂亮的不等式，卻無從洞察製造這不等式的數學在哪兒（見樹不見林）。事實上，不等式問題經常是由幾何圖形或具有特殊性質的函數或生活中的模具所產生的。如何看穿這背後的黑手-圖形或函數或模具，是探索不等式問題的重點。

在這裡，我們提供了兩則可以多面向思維的不等式問題。當然也了提供了從各種不同的角度切入所得到的證明。這些證明讓不等式問題應驗了蘇東坡的名句

“橫看成嶺、側成峰，高低遠近、各不同”。

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

一次因式檢驗法是指：如果整係數多項式

有一次因式（其中為互質的整數且），則整數必須滿足

事實上，另一種解釋是：如果最簡分數是多項式方程式

的一個有理根，則必有

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

當你研究一則數學問題時，常會發生的事情是：你可以猜想到問題的答案或者是公式（不等式），但是卻沒有辦法證明它。如果你的公式（或者是不等式）是與正整數相關的式子。那麼數學歸納法將提供你一個便捷的證明方法。這裡的目的就是要提出一些利用數學歸納法解決問題的範例，以供讀者參考。