作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

諾貝爾物理獎得主狄拉克一次到哥廷根大學訪問時，正逢校內師生沈湎於一道數學題目：只用4個2及所有可利用的“數學符號”，如加﹑減﹑乘﹑除﹑乘方﹑開方﹑log…等，將1到100的所有正整數表示出來。舉例來說

 

在那時候，沒有人可以寫出1到100之間的所有正整數表示法。狄拉克經過一番思考之後，提出他可以解決的另一道問題：

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

在時間長河的緩慢流動與人類智慧的加速積累下，很多重要的數學定理一再地被挖掘與找到各種不同型式的證明方法。幾何學的「勾股定理」與代數學的「質數有無窮多個」就是精典的兩個代表。在十九世紀初，高斯曾對數論裡的一個定理，現稱為高斯互反定理，一連給了五種不同的證明。

中學的「算幾不等式」，「柯西不等式」與「正、餘弦定理」也是數學愛好者尋找各種不同證明方法的好材料，甚至有些證明方法大同小異或者重覆地被提出來。

吳建生老師與張海潮教授對算幾不等式討論出一種簡單的證明方法，介紹如下：

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

59.1 青蛙交換

有六隻青蛙站在排成一直線的七個格子中的六個，每次只能讓一隻青蛙跳動，而且只能前進一格或跳過一隻青蛙進入前一格：

 

是否可以找到將左邊的三隻青蛙與右邊的三隻青蛙互換的跳動模式？

 

59.2 沙鼠的跳動

將刻有編號 的罐子等距地擺放在輸送帶上，且輸送帶連同罐子等速往左邊移動，但是沙鼠從0號罐子往右邊跳，每一跳的前進距離都是1單位（即相鄰兩罐子的距離）：

 

當沙鼠每秒跳一次時，12跳後到達最後一個罐子；但當沙鼠加快速度每秒跳二次時，20 跳後到達最後一個罐子。問：輸送帶上所擺的最後一個罐子的編號是幾號。

運籌於帷幄之中，以空間換取時間，決勝於千里之外。

　　　　　　　　　　　　　　　

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

玩電腦上的遊戲到底利多還是弊多？我教過一位女大學生，高中時因愛玩電玩遊戲「楓之谷」，高一、高二多是資優班倒數，高三才發憤圖強，順利考上公費生；讀博士班時，我的室友每天都玩電腦上的遊戲，沉溺到連指導教授都經常來關切；最近，樓下的鄰居說：「他兒子最近被電玩遊戲迷住了，連補習都不想去上。」諸如此類的情形，在中學或大學應該是很普遍的現象。我孩子就讀的小學，有一間超過百坪大的教室，裡面擺滿兩三百種益智小遊戲，坊間看得到的都在裡面，而且每位小朋友每學期都要上六次「數學探索」的課程，其實就是在探索那些益智遊戲。我當了一學年的數探志工，覺得這課程還不錯。究竟沉溺於電玩遊戲跟玩益智小遊戲要如何區別呢？我們可以慎選出具有啟發或啟蒙意義，又不會讓小孩沉溺於其中的遊戲嗎？

 

最近，心理學家發現，休閒放鬆類的簡單小遊戲才能提高快樂感，達到減壓效果。據美國媒體報導，美國俄亥俄州立大學傳播和心理學教授布拉德‧布希曼等人招募了一些志願者玩不同種類的遊戲，研究人員清楚地發現，那些玩休閒小遊戲的人自我感覺更舒服、更快樂，能體驗到較多的正面情緒；而玩暴力遊戲的人則攻擊性和侵略性增強。此外，玩了一會兒休閒小遊戲，比如和小動物互動之後，人們會變得更親切，更願意主動幫助他人。希望本章所要介紹的遊戲，也是心理學家們發明的「圍貓遊戲」可以達到這個效果，甚至超過這個功能，達到啟蒙的意義。