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分類：其他勾股證明
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發佈於：05 九月 2016
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【作輔助圖】
1. 以直角三角形\(\triangle ABC \)的\(\overline { AB } \)為邊向內作正方形，得到正方形\(ABDE\)。
2. 並從\(E\)作\(\overline { AC } \)的垂直線，會交\(\overline { AC} \)於\(F\)；從\(D\)作\(\overline { EF } \)的垂直線，會交\(\overline { EF } \)於\(G\)。
3. 再以\(\overline { AC } \)為邊向外作正方形，可以得到正方形\(ACHI\)。其中\(\overline { CH } \)與\(\overline { DG } \)的交於\(J\)，而\(\overline { CH } \)與\(\overline { BD } \)的交於\(K\)。
4. 最後以\(\overline { DJ } \)為邊向外作正方形，可以得到正方形\(DJML\)，其中\(\overline { LM } \)與\(\overline { BD } \)交於\(N\)。
可以從輔助圖中看到大正方形被這些輔助線切割成幾個拼片，可以拿來重新組合兩個小正方形，在證明完它們各個拼片的對應全等後，就可以從面積等式中推導得到畢氏定理。
閱讀全文：勾股定理證明-李善蘭
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分類：其他勾股證明
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發佈於：05 九月 2016
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【作輔助圖】
1. 以直角三角形\(ABC\)的\(\overline { AB } \)、\(\overline { BC } \)、\(\overline { AC } \)三邊為邊，分別向外作正方形\(ABDE\)，正方形\(BCFG\)，及正方形\(ACHI\)。
2. 接著延伸\(\overline { EA } \)交\(\overline { IH } \)於\(J\)；延伸\(\overline { DB } \)交\(\overline { CF } \)於\(K\)；延伸\(\overline { IA } \)交\(\overline { DE } \)於\(L\)；延伸\(\overline { GB } \)交\(\overline { AL } \)於\(M\)。
3. 然後過\(J\)作\(\overline { AJ } \)的垂線，交\(\overline { CH } \)於\(N\)；從\(E\)作\(\overline { AL } \)的垂線，交\(\overline { AL } \)於\(O\)。
4. 在\(\overline { AL } \)上取\(Q\)點使\(\overline { AQ }=\overline { JH } \)；並過\(Q\)作\(\overline { AL } \)的垂線，交\(\overline { AE } \)於\(P\)。
5. 延伸\(\overline { BK } \)，延伸\(\overline { GF } \)，交於\(R\)。
【求證過程】
以上輔助圖將一大兩小的正方形切割，在證明對應的拼片都是全等的圖形後，就能直接以拼圖的方式拼出大正方形。從這拼圖式的面積關係推導中，就可以得到畢氏定理關係式。
閱讀全文：勾股定理證明-華蘅芳01
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發佈於：05 九月 2016
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【作輔助圖】
1. 以直角三角形\(ABC\)的\(\overline { AB } \)、\(\overline { AC } \)、\(\overline { BC } \)三邊為邊，分別向內、向外、向外作正方形。可以得到正方形\(ABDE\)、正方形\(ACFG\)、正方形\(BCHI\)。此處會發現\(E\)必落在\(\overline { GF } \)上，也就是\(G-E-F\)三點共線，將在後面給出證明。
2. 其中\(\overline { CF } \)與\(\overline { ED } \)的交於\(J\)，\(\overline { CH } \)與\(\overline { BD } \)的交於\(K\)。
3. 過\(D\)作\(\triangle BJD \)的高線，垂足\(L\)。
4. 在\(\overline { GA } \)上取\(M\)使\(\overline { GM }=\overline { CL } \)，再過\(M\)作\(\overline { GA } \)的垂直線交\(\overline { AE } \)於\(N\)。
5. 在\(\overline { AC } \)上取\(O\)使\(\overline { AO }=\overline { EF } \)，再過\(O\)作\(\overline { AC } \)的垂直線交\(\overline { AB } \)於\(P\)。
【求證過程】
我們先證明\(G-E-F\)三點共線，以確定這個圖的正確性。接著會發現大正方形被這些輔助線切割成六個拼片，其中二個不用移動，而我們將證明另外四個拼片與相對應的四拼片個是全等的。接著再推導面積關係式即可以證明畢氏定理。
閱讀全文：勾股定理證明-華蘅芳04
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發佈於：05 九月 2016
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【作輔助圖】
1. 以\(\overline { AB },\overline { AC },\overline { BC } \)三邊為邊分別向外、向內、向內作正方形\(ABDE,ACFG,BCHI\)。
2. 其中\(\overline { BD } \)與\(\overline { FG } \)交於\(J\)，而\(\overline { HI } \)與\(\overline { AB } \)交於\(K\)。
3. 過\(D\)作\(\overline { EJ } \)的垂直線交\(\overline { EJ } \)於\(L\)。
4. 在\(\overline { AG } \)上取\(M\)使\(\overline { AM }=\overline { AH } \)，再過\(M\)作\(\overline { AG } \)的垂直線交\(\overline { AE } \)於\(N\)。
5. 在\(\overline { EL } \)上取\(O\)使\(\overline { EO }=\overline { AH } \)，再過\(O\)作\(\overline { EL } \)的垂直線交\(\overline { ED } \)於\(P\)。
【求證過程】
以直角三角形的斜邊為邊作出的大正方形可以透過輔助線將之切割成七片拼片。我們不難證明大正方形中的拼片與兩個小正方形中的拼片對應全等，再透過面積的等式推導，就可以得到畢氏定理關係式。
閱讀全文：勾股定理證明-華蘅芳07
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發佈於：05 九月 2016
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【作輔助圖】
1. 以直角三角形\(ABC\)的\(\overline { AB } \)為邊，向外作正方形\(ABDE\)；再以\(\overline { BC } \)為邊，向外作正方形\(BCFG\)；接著取一點\(H\)於\(\overline { BC } \)延伸線上，使\(\overline { BH }=\overline { AC } \)，再以\(\overline { BH } \)為邊向內作正方形\(BHIJ\)。
2. 延伸\(\overline { EA } \)交\(\overline { HI } \)於\(K\)；然後延伸\(\overline { DB } \)交\(\overline { CF } \)於\(L\)；再延伸\(\overline { IJ } \)交\(\overline { ED } \)於\(M\)。
3. 過\(E\)作\(\triangle AEM \)的高，以\(N\)為垂足。
4. 最後在\(\overline { AM } \)上取一點\(O\)，使得\(\overline { AO }=\overline { AI } \)，再過\(O\)作\(\overline { AM } \)的垂直線，交\(\overline { AE } \)於\(P\)。
【求證過程】
以上輔助圖中，大正方形被輔助線切割成五塊拼片，不難發現這五塊拼片與兩個小正方形內的拼片對應全等，因此可以以這五塊拼片拼得兩個小正方形。再利用面積等式的推導，即可輕易得到畢氏定理的關係式。
閱讀全文：勾股定理證明-華蘅芳10