作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

一幅對弈的畫，一場延續了五百年的棋局，…，唯有看穿永恆之美的人，才能獲得答案。這幅畫的場景是「國王和他忠誠的騎士對奕，一位神秘的黑衣女子在背後觀棋…。」而畫裡的棋局，不僅讓達文西喜愛不已，就連後來東方的鐵路工人也著迷。究竟棋局所留下的數學謎團是什麼呢？且讓我們來介紹。

 

 

達文西在他的畫作中充分使用了黃金比例，在今日許許多多的事物也都遵循著這個比例在運作。例如傳統照片規格3×5，廣角照片規格4×7及大小為15:9的寬螢幕電腦等都是在談論不同長﹑寬比例的矩形，這種比例接近1.618的矩形稱為黃金矩形。

 

▲螺線與黃金比例

 

不知是人類 DNA 的遺傳或者是上帝的傑作，人類對這種大小尺寸的黃金矩形，特別情有獨鍾。當你拿出許許多多不同大小的矩形供小孩子挑選時，他們總是會挑到黃金矩形，就像真正的小法王總是可以選對圓寂法王所留下的法器一樣不可思議。人類這種與生俱來的審美天賦，可以運用在遊戲上擊敗對手嗎？讓我們以一道在圍棋棋盤上玩的遊戲作說明，這遊戲跟圍棋最大的差別是：只需一粒棋子就可以玩這道遊戲。

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

義大利詩人但丁說過「圓是最完美的圖形」，圓的完美來自於它有一個圓心，而圓周完全對稱於圓心。阿基米德說「給我一個支點，我能將地球撬起來」，看似不可能，但在科學的意義是很深遠的，例如，只需給一個點，圓規的一隻腳壓在這點上，另一隻腳就可以畫出完美且對稱的圓。

這些故事都在說明，找到關鍵點或發現可用的科學概念，隱藏的和諧就變成看得見的和諧。在這裡，我們將討論一道圓周上的遊戲

 

這道遊戲是從東歐的遊戲演變而來。

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

左先生是一位左撇子，據調查，全世界左撇子只佔百分之六至十二左右。東方或許因為小時候受到父母的束縛，所以左撇子沒有那麼多，但是西方慣用左手的人可不少。就因為稀少，所以左先生特別自戀，經常強調左撇子的聰明，例如，左撇子的視覺透視與空間能力特別強，打出來的桌球或網球特別會旋轉，而且路徑也特別彎曲；左手寫字的人經常用右後腦思考，而右後腦又是掌管創意的地方，難怪左先生常說「左撇子特別會出歪點子，想法特別有創意，就是特別聰明的意思。」

左先生走進理髮廳，坐上理髮椅，對著鏡子跟理髮師傅說剪修哪些地方，講完之後，師傅拿起剪刀開始剪修左先生的頭髮。左先生從鏡子中認出理髮師傅也是個左撇子，在鏡中，左手拿著剪刀俐落的修剪左先生的頭髮。左先生迫不及待的說起話來：「沒想到你跟我一樣都是左撇子，左撇子是世上最聰明的人類，無論作什麼事情都很行，從你左手俐落的模樣又再一次得到證明，…。」左先生話匣子一開，直到理完頭髮才停了下來，這時理髮師傅說「左先生，你的鏡射原理應該要加強，鏡子裡的左撇子實際上是右撇子…。」

兩千多年前的希臘哲學家赫拉克利特就說過「隱藏的和諧比看得見的和諧來得好。」好的數學遊戲就是將赤裸裸看得見的數學和諧隱身藏匿起來，讓玩者從遊戲中去發現，這樣所發現的數學將深深的印記在玩者的腦海裡。至於如何發現這隱藏的數學和諧呢？親身經歷，多玩幾次是發現和諧的不二方法。讓我們一起來挖掘底下這道數學遊戲背後所隱藏的和諧吧？

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

一隻老虎的臉孔，一隻螃蟹的體態，一片葉子的形狀，人類的身體，一個完整的圓以及蜂窩結構等等，乍看之下給人的感覺是完全均衡的，這多半要歸因於他們的對稱。對稱是一種數學均衡的行為，也是讓宇宙和諧的重要支柱，一般所談的對稱有三種：圓周對稱於圓心是「點對稱」，人類身體的左右對稱稱為「線對稱」，例如，達文西的《維特魯威人》這幅素描就是線對稱，而人照鏡子時，與鏡中人的對稱稱為「面對稱」。又球對稱於球心也是點對稱，圓周對稱於直徑是線對稱，球對稱於通過球心的平面為面對稱。

▲動物的線對稱體態

有過請教練教球的經驗嗎？如果有，那將很容易理解點對稱的好處。

▲海綿寶寶與派大星教練的點對稱練球

當你站在教練的對面，教練命令你拿著拍子跟他一起揮拍時，會發現教練跟你的揮拍動作剛好對稱於你與教練連線的中點，而且這是一種點對稱。與教練同步揮拍，看似模仿與跟隨，或者說拿香跟著拜，但更貼切的說，它是在做對稱這種均衡的運動。他有兩個好處，其一，練好基本動作，其二，在比賽時，只需與對手作完全對稱的動作，就可以把球打回去。所以模仿﹑跟隨或者說拿香跟著拜一定就不好嗎？不要受到文字的影響，事實上，他們就是對稱的意思。

其實，對稱這道「數」光一直普照著我們的日常生活，但是我們始終對他的理解不夠深入，甚至沒有注意到它的存在。我們希望透過一道遊戲讓讀者更深入的瞭解對稱。