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分類：魯米斯勾股證明(幾何篇)
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發佈於：01 九月 2016
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點擊數：422
【作輔助圖】
1. 分別直角三角形\(ABC\)的\(\overline { AB } \)、\(\overline { BC } \)及\(\overline { AC } \)為邊向外作正三角形\(BCD\)、正三角形\(ACE\)及正三角形\(ABF\)。
2. 過\(E\)作\(\overline { AC } \)垂直線交\(\overline { AC } \)於\(G\)，過\(D\)作\(\overline { BC } \)垂直線交\(\overline { BC } \)於\(H\)。
3. 連\(\overline { BE } \)交於\(I\)、連\(\overline { AD } \)與\(\overline { BC } \)交於\(J\)。
4. 連\(\overline { BG } \)、\(\overline { AH } \)、\(\overline { CF } \)。
【求證過程】
先證明其中兩組三角形面積相等，也不難發現其中有兩組全等的三角形。再透過面積分割就可以得到大正三角形的面積會等於兩個小正三角形的面積和，推導出畢氏定理的關係式。
閱讀全文：勾股定理證明-G239
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分類：魯米斯勾股證明(幾何篇)
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發佈於：01 九月 2016
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點擊數：455
【作輔助圖】
1. 在直角三角形\(ABC\)的三邊上分別以三邊為底邊作相似的等腰三角形\(\triangle BCD,\triangle ACE,\triangle ABF \) 。
2. 作三等腰三角形的高，分別為\(\overline { DG },\overline { EH },\overline { FI } \)。
3. 在三個高上分別取中點\(J,K,L\)。
4. 以\(\overline { AB } \)邊為長方形的一邊，\(L\)為對邊上的一點，作\(ABML\)。
5. 接著過\(J,K\)分別作平行於\(\overline { BC } \),\(\overline { AC } \)的平行線，交於\(O\)，並連\(\overline { OC } \)並延伸交\(\overline { AB } \)於\(S\)，交\(\overline { PQ } \)於\(T\)。
6. 最後分別過\(A,B\)作\(\overline { OC } \)的平行線，交過\(K,J\)平行於\(\overline { AC } \),\(\overline { BC } \)的平行線於\(P,Q\)，連\(\overline { PQ } \)。其中四邊形\(ACOP\)及\(BCOQ\)為平行四邊形。及過\(C\)作\(\overline { OP } \)的垂直線，垂足\(R\)。
【求證過程】
先證明作圖的方式製造出來的三邊上的長方形及平行四邊形，分別與三邊上的相似等腰三角形的面積相等。因此我們要證明的目標就可以轉變為兩個平行四邊形面積和等於長方形面積。接著透過平行四邊形的特性以及相似三角形的邊長成比例，我們就可以證明它們的面積關係式。最後因為我們知道相似三角形的面積比就是邊長平方比，也就證明了畢氏定理。
閱讀全文：勾股定理證明-G241
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分類：魯米斯勾股證明(幾何篇)
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發佈於：01 九月 2016
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【作輔助圖】
1. 在直角三角形的三邊上作相似的五邊形\(ACDEF\)，五邊形\(CBD'E'F'\)及五邊形\(BAD"E"F"\)。
接著我們以五邊形\(ACDEF\)為示範作圖：
2. 連\(\overline { EA },\overline { EC } \)，並過\(F\)作平行於\(\overline { EA } \)的直線，交\(\overline { AC } \)延伸線於\(G\)；過\(D\)作平行於\(\overline { EC } \)的直線，交\(\overline { AC } \)延伸線於\(H\)。連\(\overline { EG },\overline { EH } \)。
3. 過\(E\)作\(\overline { GH } \)的垂直線，垂足\(I\)。
4. 在平面上作一\(\overline { UV } \)與\(\overline { AC } \)等長，並在\(\overline { UV } \)延伸線上取一點\(W\)使得\(\overline { UW }=\overline { GH } \)。
5. 過\(U\)作與\(U-V-W\)不共線之一線，並在線上取一點\(X\)使得\(\overline { UX }=\overline { EI } \)。連\(\overline { VX } \)。
6. 過\(W\)作平行於\(\overline { VX } \)的直線，交\(\overline { UX } \)延伸線於\(Y\)。
7. 作\(\overline { AC } \)中垂線與\(\overline { AC } \)交於\(J\)，並在中垂線上取一點\(K\)使得\(\overline { JK }=\overline { UY } \)。接著連\(\overline { KA },\overline { KC } \)。
8. 最後分別在\(\overline { BC },\overline { AB } \)如上述操作，可以得到\(K',K"\)，並連接\(\overline { K'B },\overline { K'C },\overline { K"A },\overline { K"B } \)。
【求證過程】
以上面程序作輔助線，目的是在每邊上製造面積與邊上的五邊形相等的等腰三角形。其中利用到了推移的技巧，以及尺規作圖中乘法、伸縮的技巧。完成作圖後我們只要說明三邊上較小的兩個等腰的三角形的面積和，等於較大的等腰三角形的面積。而這個性質剛好我們在之前已經有了證明，也就完成了畢氏定理了證明。
閱讀全文：勾股定理證明-G242-1
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分類：魯米斯勾股證明(幾何篇)
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發佈於：01 九月 2016
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點擊數：406
【作輔助圖】
1. 以直角三角形\(ABC\)的三邊為正五邊形的一邊，分別向外作正五邊形\(ABDEF\)、正五邊形\(ACGHI\)及正五邊形\(BCJKL\)。(如何作出正五邊形不在此處討論)
2. 而正五邊形的中心分別為\(M,N,O\)。(可以作任意兩邊的中垂線交點找任意正多邊形的中心)
3. 連\(\overline { AM },\overline { BM },\overline { AN },\overline { CN },\overline { CO } \)以及\(\overline { BO } \)。
【求證過程】
我們要證明二個較小的正五邊形的面積和為較大的正五邊形的面積，再透過相似形的面積比，就是對應邊長的平方比的性質，就可以證明畢氏定理。而我們的做法是以正五邊形的中心將每個正五邊形分成五個全等的等腰三角形，接著就只需要證明這二小一大的相似等腰三角形的面積關係即可。
閱讀全文：勾股定理證明-G242-2
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分類：魯米斯勾股證明(幾何篇)
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發佈於：01 九月 2016
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點擊數：441
【作輔助圖】
1. 直角三角形\(\triangle ABC \)，過\(C\)作\(\overline { BC } \)垂直線\(\overline { CD } \)，使\(\overline { CD }=\overline { BC } \)；並過\(C\)作\(\overline { AC } \)垂直線\(\overline { CE } \)，使\(\overline { CE }=\overline { AC } \)；同樣地過\(B\)作\(\overline { AB } \)垂直線\(\overline { BF } \)，使\(\overline { BF }=\overline { AB } \)。
2. 接著過\(F\)向\(\overline { EC } \)作垂足\(G\)，連\(\overline { FG } \)。
3. 最後連\(\overline { FA } \)、\(\overline { FC } \)、\(\overline { GA } \)、\(\overline { AE } \)、\(\overline { BD } \)。
【求證過程】
從直角三角形\(ABC\)開始以三邊向適當方向作三個等腰直角三角形，再利用一組全等三角形以及同底等高則三角形面積會相同的特性，將大等腰直角三角形的面積分割成兩個小等腰直角三角形的面積和，進而推出畢氏定理的關係式。
閱讀全文：勾股定理證明-G243