勾股定理證明-G242-1 - 非想非非想數學網

詳細內容: 分類：魯米斯勾股證明(幾何篇); 發佈於：01 九月 2016; 點擊數：530

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【作輔助圖】

1. 在直角三角形的三邊上作相似的五邊形

$ACDEF$ ，五邊形

$CBD'E'F'$ 及五邊形

$BAD"E"F"$ 。

接著我們以五邊形

$ACDEF$ 為示範作圖：

2. 連

$\overline { EA },\overline { EC }$ ，並過

$F$ 作平行於

$\overline { EA }$ 的直線，交

$\overline { AC }$ 延伸線於

$G$ ；過

$D$ 作平行於

$\overline { EC }$ 的直線，交

$\overline { AC }$ 延伸線於

$H$ 。連

$\overline { EG },\overline { EH }$ 。

3. 過

$E$ 作

$\overline { GH }$ 的垂直線，垂足

$I$ 。

4. 在平面上作一

$\overline { UV }$ 與

$\overline { AC }$ 等長，並在

$\overline { UV }$ 延伸線上取一點

$W$ 使得

$\overline { UW }=\overline { GH }$ 。

5. 過

$U$ 作與

$U-V-W$ 不共線之一線，並在線上取一點

$X$ 使得

$\overline { UX }=\overline { EI }$ 。連

$\overline { VX }$ 。

6. 過

$W$ 作平行於

$\overline { VX }$ 的直線，交

$\overline { UX }$ 延伸線於

$Y$ 。

7. 作

$\overline { AC }$ 中垂線與

$\overline { AC }$ 交於

$J$ ，並在中垂線上取一點

$K$ 使得

$\overline { JK }=\overline { UY }$ 。接著連

$\overline { KA },\overline { KC }$ 。

8. 最後分別在

$\overline { BC },\overline { AB }$ 如上述操作，可以得到

$K',K"$ ，並連接

$\overline { K'B },\overline { K'C },\overline { K"A },\overline { K"B }$ 。

【求證過程】

以上面程序作輔助線，目的是在每邊上製造面積與邊上的五邊形相等的等腰三角形。其中利用到了推移的技巧，以及尺規作圖中乘法、伸縮的技巧。完成作圖後我們只要說明三邊上較小的兩個等腰的三角形的面積和，等於較大的等腰三角形的面積。而這個性質剛好我們在之前已經有了證明，也就完成了畢氏定理了證明。

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附加檔案：
File	File size
G242-1.pdf	271 Kb

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