科普園區 - 非想非非想數學網

【作輔助圖】

1. 以\(\overline { AB } \)為邊，向內作一正方形\(ABDE\)。

2. 從\(E\)點作\(\overline { EF } \)垂直\(\overline { AC } \)。

3. 延長\(\overline { BC } \)使\(\overline { BG }=\overline { AC } \)。

4. 從\(D\)點作\(\overline { DH } \)垂直\(\overline { EF } \)（於證明過程第1點說明\(D-G-H\)三點共線）。

【求證過程】

如圖正方形\(ABDE\)可視為四個三角形與中間四邊形的和，說明圖中四個三角形皆全等，接著運用作圖的分割部分計算正方形\(ABDE\)的面積，整理式子之後即可得勾股定理關係式。

【作輔助圖】

1. 直角三角形\(ABC\)中，過\(C\)作\(\overline { AB } \)垂直線交\(\overline { AB } \)於\(D\)。

【求證過程】

先證明三角形\(ABC\)、三角形\(ACD\)、三角形\(CBD\)彼此相似，再利用相似形面積比例特性即可推得畢氏定理關係式。

【作輔助圖】

1. 將\(\overline { CB } \)延長至\(D\)點，使得\(\overline { BD }=\overline { AC } \)。

2. 從\(D\)點作的\(\overline { AC } \)的平行線，並在此線上取一點\(E\)，使得\(\overline { DE }=\overline { BC } \)。

3. 連接\(\overline { BE } \)及\(\overline { AE } \)。

【求證過程】

在直角三角形\(ABC\)外作一個全等三角形而形成梯形，梯形面積可表示為三塊直角三角形的面積和關係，即可推得勾股定理的關係式。

【作輔助圖】

1. 取\(\overline { AB } \)中點\(M\)，連接\(\overline { CM } \)。

2. 以\(M\)點為圓心，\(\overline { AM } \)為半徑畫圓。

【求證過程】

在直角三角形中利用中線定理【註: 補充說明】及斜邊之中點到各頂點等距的外心性質，即可推得勾股定理關係式。

【作輔助圖】

1. 將\(\overline { BC } \)延長至\(D\)點，使得\(\overline { CD }=\overline { AC } \)。

2. 從\(D\)點作\(\overline { AB } \)的垂線，交\(\overline { AB } \)於\(E\)點，交\(\overline { AC } \)於\(F\)點。

3. 連接\(\overline { AD } \)及\(\overline { BF } \)。

【求證過程】

在直角三角形\(ABC\)外作輔助線，先說明圖中部分的三角形全等，最後利用凹四邊形\(DAFB\)切割成兩種不同的三角形方式算面積，運用其面積相等的關係，推出勾股定理的關係式。

勾股定理證明-G229