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56 生銹圓規搞數學工藝…圓規的奧妙

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分類：戲說數學
發佈於：16 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
世界末日之後的地球，人類的文明將嚴重退化。末日後的猿猴即使找到以前人類使用過的圓規，也是一把生了銹的圓規。因為圓規生了銹，所以猿猴有可能誤以為人類畫圖用的圓規之張角是固定不變的，也就是說，同一把圓規只能畫固定半徑的圓。在這樣的誤解之下，猿猴可能做出的點或圖形顯然少很多。最簡單的情形是正三角形可以作出來嗎？
 
手上僅有一把生銹的圓規，令其兩個尖點相距1單位，而紙上有兩個已知點A與B，他們相距小於2單位。在作圖過程只能用這把生銹的圓規的要求下，作出紙上的一點C使得三角形ABC為正三角形。
作圖方法如下圖所示：
① 以A,B為圓心，分別作圓A與圓B（因為生銹的圓規只能作固定半徑的圓，所以用圓心來稱呼所做出來的圓），並令D,E是這兩圓的兩個交點。
② 以E為圓心，作圓E，並令圓E與圓A交於F,A兩點；與圓B交於G,B兩點。
③ 過F,G兩點分別作圓F及圓G，並令此兩圓相交於E與C兩個點。
④ C點為所求，即三角形ABC是正三角形。
證明過程：
① 觀察E,F,A三點得知三角形EFA為正三角形。因此∠EFA=60°。
② 考慮圓F，由圓周角是圓心角的一半之性質，得到
∠ECA=½∠EFA=½‧60°=30°.
同理可得∠ECB=30°。
③ ∠ACB=∠ECA+∠ECB=30°+30°=60°。
④ 從作圖的對稱關係可以發現三角形CAB是等腰三角形，即∠CAB=∠CBA=60°。
⑤ 三角形ABC為正三角形。
 
生銹圓規作正三角形是美國幾何學家佩多所提出的問題，事實上，他還提出另一道生銹圓規的作圖題：求作線段的中點。這兩個問題都是中國的教授與學生首先得到解答。特別是第二題被一個未考上大學的學生做出，他是山西自學青年候曉榮。
 
 
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