58 算幾大戰…時間與智慧的積累

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

在時間長河的緩慢流動與人類智慧的加速積累下，很多重要的數學定理一再地被挖掘與找到各種不同型式的證明方法。幾何學的「勾股定理」與代數學的「質數有無窮多個」就是精典的兩個代表。在十九世紀初，高斯曾對數論裡的一個定理，現稱為高斯互反定理，一連給了五種不同的證明。

中學的「算幾不等式」，「柯西不等式」與「正、餘弦定理」也是數學愛好者尋找各種不同證明方法的好材料，甚至有些證明方法大同小異或者重覆地被提出來。

吳建生老師與張海潮教授對算幾不等式討論出一種簡單的證明方法，介紹如下：

給定任意n個正數a₁,a₂,‧‧‧,a_n，它們的算術平均數

大於或等於它們的幾何平均數

而且等號成立的條件為a₁=a₂=‧‧‧=a_n。

在a₁,a₂,‧‧‧,a_n這n個數中，當每一個數都跟算術平均數μ相等時，容易得到

μ=g.

另外，在a₁,a₂,‧‧‧,a_n這n個數中，當有一個比算術平均數μ小時，代表至少有一數比μ大，設比μ小的數為a₁，比μ大的數為a₂，並令它們與μ的差分別為ϵ與δ，如下圖所示：

不妨假設ϵ≤δ，此時造n個新的正數如下

A₁=a₁+ϵ,A₂=a₂-ϵ,A₃=a₃,A₄=a₄,‧‧‧,A_n=a_n.

這新造的n個數有以下的性質：

① 它們的算術平均數也是μ：

因為從第三項起都一樣，又

A₁+A₂=(a₁+ϵ)+(a₂-ϵ)=a₁+a₂,

所以算術平均數也是μ。

② 它們的幾何平均數g₁比原來的幾何平均數g大：

因為從第三項起都一樣，所以只需比較前兩項的乘積即可。

由

A₁A₂=(a₁+ϵ)(a₂-ϵ)

=a₁a₂+ϵ(a₂-a₁-ϵ)

=a₁a₂+ϵδ

>a₁a₂

知g₁>g。

如果把上述過程稱為一次操作，那麼繼續操作下去，我們每回得到的算術平均數都是μ，而幾何平均數g₁,g₂,g₃,‧‧‧會滿足

‧‧‧>g₃>g₂>g₁>g.

但是，至多操作n次，就會讓每個數都調整成μ，即此時的幾何平均數為μ，又

μ>‧‧‧>g₃>g₂>g₁>g.

因此，在a₁,a₂,‧‧‧,a_n這n個數中，當有一個比算術平均數μ小時，我們有

μ>g.

附加檔案：
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58 saymathsgame.pdf	142 Kb