59 數學遊戲的初體驗
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分類：戲說數學
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發佈於：16 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
59.1 青蛙交換
有六隻青蛙站在排成一直線的七個格子中的六個，每次只能讓一隻青蛙跳動，而且只能前進一格或跳過一隻青蛙進入前一格：
是否可以找到將左邊的三隻青蛙與右邊的三隻青蛙互換的跳動模式？
59.2 沙鼠的跳動
將刻有編號 的罐子等距地擺放在輸送帶上，且輸送帶連同罐子等速往左邊移動，但是沙鼠從0號罐子往右邊跳，每一跳的前進距離都是1單位（即相鄰兩罐子的距離）：
當沙鼠每秒跳一次時，12跳後到達最後一個罐子；但當沙鼠加快速度每秒跳二次時，20 跳後到達最後一個罐子。問：輸送帶上所擺的最後一個罐子的編號是幾號。
59.3 調撥鬧鐘的遊戲
將鬧鐘設定在六點整的位置，甲乙兩人輪流調撥鬧鐘，每次只能將鬧鐘往前調30分鐘或1小時：
將鬧鐘調撥到十二點整的人獲勝，問：先玩或者後玩的人有必勝的策略。
59.4 填數字遊戲
將1, 2, 3, 4, 5, 6六個數字填入底下六個圓圈內，每個圓圈填入不同的數字：
如果要求每個圓圈上的數字必須是底下兩個圓圈上的數字差，那麼一共有多少種不同的填法？
探討 這是三層圓圈填數字的遊戲，推廣成n層時，其填入的方法是否有公式？
59.5 拿石頭字遊戲
甲乙兩人輪流取N顆石頭，每次不能全部拿走對方留下的石頭，但取走的石頭數目必須是對方留下石頭數目的正因數。舉例來說，當N=8時，第一輪甲只能拿1, 2或4顆石頭。若甲拿2顆石頭，則剩下6顆石頭，此時乙只能選擇拿走1, 2或3顆石頭。
很顯然的，當剩下1顆石頭時，遊戲就停止了，因為下一位玩者無法根據規則拿石頭，
所以贏者是讓石頭剩1顆的人。
哪些數字N是先玩的甲會贏的石頭數，又其策略為何？
59.6 想兩個數
從
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
中想兩個數。然後依下列程序操作這兩個數：
① 將第一個數加1。
② 將得到的數乘5。
③ 將得到的數再加1。
④ 將得到的數再乘2。
⑤ 將得到的數減1。
⑥ 將得到的數加上第二個數。
⑦ 將所得的數再加2。
⑧ 將所得的數再乘2。
⑨ 將所得的數再減8。
⑩ 最後將所得的數除以2。
只要告訴我最後所得到的數，便可知道你想的那兩個數。
59.7 拿石頭字遊戲
甲乙兩人輪流取N顆石頭，每次只能取完全平方顆石頭，例如1,4,9,16,‧‧‧顆石頭，取完所有石頭者勝。
探討 顯然當N=2,5,7,10,‧‧‧時，後玩的乙會贏。
① 後玩的乙會贏的石頭數N是否有無窮多個？
② 找出後玩的乙會贏的石頭數N的規律。
③ 有兩堆石頭，一堆是甲的，另一堆是乙的，甲乙兩人輪流取這兩堆石頭，規則如下：
(i) 每次只能從一堆（自己的這堆或者是對方的那堆）石頭中取走完全平方顆石頭。
(ii)當哪方的那堆石頭被完全取完時，該方算輸。
試問：兩堆石頭數為何時，先玩的甲會有必勝的策略，又其策略為何？
59.8 切割方格紙的遊戲
在5×13的方格紙上，甲乙兩人玩切割方格紙的遊戲：
遊戲規則：
(1) 甲乙輪流切割方格紙，甲先，乙後。
(2) 每次必須割掉較短邊長的正方形數個，例如甲必須割掉邊長為5的正方形一個或兩個。
(3) 最後將方格紙割掉者贏。
問：甲或乙有必勝的策略。
59.9 河內塔遊戲…規律的搜尋
印度河內塔遊戲也是一道與數列規律有關的遊戲，早期的部編版高中數學教科書就是用「河內塔遊戲」當引例介紹數學歸納法。
有A, B, C三根柱子， A柱有八個圓盤依小到大疊著，要將A柱子的圓盤搬到C柱子，每次只能移動一個圓盤，且圓盤只能小的疊在大的上面，如此最少需要移動幾次？才能達成目的。進一步，如果A柱子有n個大小不一的盤子，依此規則，最少需要移動幾次？如果有些是相同又如何？
59.10 轉動法輪
將寫有1,2,3,4,5,6,7的七枚硬幣擺在左圖八格中的七格。規定每次移動僅能將空白格附近的硬幣沿著路徑滑動至空白格的位置。試問：是否可以將左圖經過有限次的滑動之後，變成右圖。
59.11 分水遊戲
開始時，讓A瓶是空瓶，B瓶裝有2公升的水。每一輪操作都是先將A瓶的水倒出
到B瓶，然後再將B瓶的水倒出
回A瓶。舉例來說，在第一輪操中，因為A瓶是空瓶，所以倒0公升的水到B瓶，此時B瓶仍是2公升的水；但在倒出回A瓶後，A瓶有水
公升，而B瓶的水剩
公升。
到B瓶，然後再將B瓶的水倒出回A瓶。舉例來說，在第一輪操中，因為A瓶是空瓶，所以倒0公升的水到B瓶，此時B瓶仍是2公升的水；但在倒出回A瓶後，A瓶有水公升，而B瓶的水剩公升。
如果分水遊戲持續進行，那麼最後A瓶與B瓶的水會是多少公升呢？
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 59 saymathsgame.pdf | 278 Kb |