勾股藝術殿堂 - 非想非非想數學網

詳細內容: 分類：Alexander Bogomolny 勾股證明; 發佈於：28 八月 2016; 點擊數：492

【作輔助圖

1.以直角三角形

$ABC$ 的

$\overline { AB },\overline { AC },\overline { BC }$ 邊為正方形的一邊，分別向內、向外、向外作正方形

$ABDE$ 、

$ACFG$ 、

$BCHI$ 。其中

$\overline { CF }$ 與

$\overline { DE }$ 交於

$J$ ，另外

$\overline { CH }$ 與

$\overline { BD }$ 交於

$K$ 。(在作圖時將會發現

$G-E-F$ 及

$I-H-D$ 共線，我們在以下說明。)

2.延伸

$\overline { BF },\overline { IH }$ 交於

$L$ ；延伸

$\overline { GA },\overline { IB }$ 交於

$M$ 。

3.過

$D$ 對

$\overline { BF }$ 作垂直線，垂足

$N$ 。

4.最後在

$\overline { BD }$ 上取一點

$P$ 使得

$\overline { BP }$ 與

$\overline { EJ }$ 等長，再過

$P$ 對

$\overline { BC }$ 作垂直線，垂足

$O$ 。

【求證過程】

先以輔助線在直角三角形

$ABC$ 的三邊上作正方形並延伸，接著適當地切割大正方形成五塊。在證明過這五塊圖形與兩個小正方形內的五塊圖形對應全等後，就可以以拼圖的方式證明它們的面積關係式，也就證明了畢氏定理。

閱讀全文：勾股定理證明-Bog026

詳細內容: 分類：Alexander Bogomolny 勾股證明; 發佈於：28 八月 2016; 點擊數：531

【作輔助圖】

1.以直角三角形

$ABC$ 的

$\overline { AB }$ 邊為正方形的一邊，向內作正方形

$ABDE$ ；再以

$\overline { BC }$ 為正方形的一邊，向外作正方形

$BDFG$ 。其中

$\overline { BD }$ 與

$\overline { CF }$ 交於

$J$ 。

2.過

$E$ 作

$\overline { AC }$ 的垂直線，垂足為

$H$ 。

3.以

$\overline { EH }$ 為正方形的一邊，向外作正方形

$HEIF'$ 。其中

$F'$ 將與

$F$ 共點，將在以下說明。

【求證過程】

先以適當的輔助線各別得到以直角三角形的邊為一邊的三個正方形，其中大正方形有部分與兩個小正方形重疊，而剩下來的部分為兩個對應全等的直角三角形，可以直接以拼圖的方式補滿兩個小正方形留下的空。可以透過這樣的想法來證明大正方形面積等於兩個小正方形面積的和，也就可以得到畢氏定理的關係式。

閱讀全文：勾股定理證明-Bog027

詳細內容: 分類：Alexander Bogomolny 勾股證明; 發佈於：02 七月 2015; 點擊數：665

【作輔助圖】

1. 將三角形

$ABC$ 分別放大

$c$ ,

$b$ ,

$a$ 倍，產生新的三角形

$A'B'C'$ 、三角形

$DEF$ 、三角形

$GHI$ ，如＜圖一＞。

2. 將三角形

$DEF$ 的

$\overline { DE }$ 和三角形

$A'B'C'$ 的

$\overline { A'C' }$ 重疊，並讓

$D$ 點在

$C'$ 點上、

$E$ 點在

$A'$ 點上；將三角形

$GHI$ 的

$\overline { GH }$ 和三角形

$A'B'C'$ 的

$\overline { B'C' }$ 重疊，並讓

$G$ 點在

$B'$ 點上、

$H$ 點在

$C'$ 點上，形成五邊形

$A'B'IC'F$ ，如＜圖二＞。

＜圖一＞

＜圖二＞

【求證過程】

將直角三角形

$ABC$ 放大，形成三個皆相似的直角三角形，並將三角形拼湊成多邊形，先說明此多邊形為矩形，再利用矩形對邊等長的性質，來推出勾股定理的關係式。

閱讀全文：勾股定理證明-Bog041

詳細內容: 分類：Alexander Bogomolny 勾股證明; 發佈於：28 八月 2016; 點擊數：528

【作輔助圖】

1.延伸直角三角形

$ABC$ 的

$\overline { AC }$ ，並在線上上取一點

$D$ ，使得

$\overline { CD }$ 與

$\overline { AC }$ 等長。連

$\overline { DB }$ 。

【求證過程】

在直角三角形

$ABC$ 的短邊上製造一個全等的直角三角形，使它擴充成一個等腰三角形。接著我們使用兩種方法計算這個等腰三角形的面積，一是使用海龍公式(Heron’s Formula)，另一是使用底乘高除以二。從這兩個面積等式中我們可以透過代數操作整理出畢氏定理關係式。

閱讀全文：勾股定理證明-Bog075

詳細內容: 分類：其他勾股證明; 發佈於：05 九月 2016; 點擊數：612

【作輔助圖】

1. 以直角三角形

$\triangle ABC$ 的

$\overline { AB }$ 為邊向內作正方形，得到正方形

$ABDE$ 。

2. 並從

$E$ 作

$\overline { AC }$ 的垂直線，會交

$\overline { AC}$ 於

$F$ ；從

$D$ 作

$\overline { EF }$ 的垂直線，會交

$\overline { EF }$ 於

$G$ 。

3. 再以

$\overline { AC }$ 為邊向外作正方形，可以得到正方形

$ACHI$ 。其中

$\overline { CH }$ 與

$\overline { DG }$ 的交於

$J$ ，而

$\overline { CH }$ 與

$\overline { BD }$ 的交於

$K$ 。

4. 最後以

$\overline { DJ }$ 為邊向外作正方形，可以得到正方形

$DJML$ ，其中

$\overline { LM }$ 與

$\overline { BD }$ 交於

$N$ 。

可以從輔助圖中看到大正方形被這些輔助線切割成幾個拼片，可以拿來重新組合兩個小正方形，在證明完它們各個拼片的對應全等後，就可以從面積等式中推導得到畢氏定理。

閱讀全文：勾股定理證明-李善蘭

勾股定理證明-Bog026

勾股定理證明-Bog027

勾股定理證明-Bog041

勾股定理證明-Bog075

勾股定理證明-李善蘭

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