《算術講義》 - 非想非非想數學網

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

質數可以簡單的分成2及奇質數，其中奇質數又可分成被4除餘1，被4除餘3兩大類。前幾個被4除餘1的質數為

5,13,17,29,37,‧‧‧

這類質數有如下的特性：

5=1²+2²,13=2²+3²,17=1²+4²,29=2²+5²,37=1²+6²,‧‧‧

這節的目的就是要證明“被4除之，餘數為1的質數均可表為兩個正整數的平方和”。

在證明這定理之前，我們先證明威爾遜及圖埃定理，然後再利用它們來證明主要的定理。

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

31.1 格子點與面積

定理31.1 在座標平面上，x,y 座標均為整數的點稱為格子點。三角形ABC的三個頂點均為格子點且除此之外，三角形 ABC 的內部（含邊上）無其它 x,y 座標均為整數的格子點。試證明此種三角形ABC 的面積為1/2.

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

32.1 同餘數與例子

一個正整數N稱為同餘數是指“存在一個三邊都是有理數的直角三角形且此直角三角形的面積恰為N”。例如N=5,6,7都是同餘數，它們所對應的直角三角形如下（註：很多有理數邊長的直角三角形之面積為同一個同餘數N是可能發生的)：

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

本文的主要目的是證明拉格朗日定理：每一個正整數皆可表為四個整數的平方和及高斯的三角形數定理：每一個正整數皆可表為三個三角形數的和。

33.1 尤拉恆等式

我們很容易證得如下的斐波那契恆等式：

(x₁²+x₂²)(y₁²+y₂²)=(x₁y₁-x₂y₂)²+(x₁y₂+x₂y₁)².

事實上，我們有較複雜的尤拉恆等式：

(x₁²+x₂²+x₃²+x₄²)(y₁²+y₂²+y₃²+y₄²)=z₁²+z₂²+z₃²+z₄²,

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

一個複數 α 稱為代數整數是指：可以找到一個首項係數為1，而且其它係數都是整數的多項式

滿足 f(α)=0 。使得上述條件成立的最低次多項式（首項係數限為1）f(x)用符號 M_α(x) 表示，並稱此為 α 的最小多項式。例如：

時，因為

，所以

30 平方和問題