作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
如果我們將一則數學問題的證明或解答中的邏輯推理及語文給剔除,所剩下的部份不是數學公式就是數學演算法。所謂數學公式是指所要求的值可以用一個公式給表達出來,例如三角形的面積公式、一元二次方程式的根的公式解、餘弦定理、正弦定理等。但並不是所有所要求的值都可以用一個公式給表示出來,例如求最大公因數就不能用一個公式來表示,而只能根據歐基里得輾轉相除法的過程來求兩數的最大公因數(或者將兩數個別作因數分解,求它們最大的共同因數)。像這樣的方法就叫做數學演算法。另兩個耳熟能詳的數學演算法就是判別一個正整數是否為質數的方法及第3 節的一次因式檢驗法。我們習慣稱前種方法為埃拉托塞尼篩法(一種篩選質數的方法)。因為演算法是比數學公式較有深度的數學方法,所以歐基里得的輾轉相除法與埃拉托塞尼篩法是歷史上很早且很有名的兩則數學演算法。本節的目的就是要介紹歐基里得的輾轉相除法。
 
閱讀全文:5 歐基里得輾轉相除法
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
“孫子算經”是中國古代一部優秀數學著作,確切的出版年月無從考證。其中有“物不知其數”一問,原文如下:“今有物不知其數,三三數之賸二,五五數之賸三,七七數之賸二,問物幾何?”
這類的問題在中國古代數學史上有不少有趣的名稱。除上所說的“物不知其數”外,還有稱之為“鬼谷算”的,“秦王暗點兵”的,“神奇妙算”的,“大衍求一術”的,…,等等。
這問題是屬於數論中算術數列(等差數列)的範疇。在這節裡,我們將對這樣的問題進行更為一般的探索。值得一提的是,本節所用的同餘符號“≡”是高斯在1799 年時所引進,發明的。由於同餘符號“≡”的方便好用,後來廣為數學家所使用。可以說是一個家喻戶曉的數學符號。
 
閱讀全文:6 中國剩餘定理
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
俗語說“路遙知馬力,日久見人心”, “知人知面不知心”。可見想暸解一個人的心裡想甚麼是很困難的一件事。這節的謎題就是想藉著43, 57 這兩個數字,來猜透一個人心裡所想的數字。過程是這樣的:
你在心裡想一個小於50 的正整數(可別說出來哪個數),且從43, 57 這兩數中選一個數(同樣不說出選哪一個數)。然後將心裡想的數與選的數相乘(例如:(表一)是你心裡想的數為38,選的數為43 所得到的計算結果;(表二)則是你心裡想的數為46,選的數為57 所得到的計算結果)。
 
閱讀全文:7 大家一起來猜數字
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
在這裡,我們將針對兩則幾何問題提出多種不同的解法,讓讀者耳目一新。特別是第二則幾何問題,在一般的幾何書籍上容易發現,但是它的解法大致只有一種。在此提供其它解法供各位欣賞。
 
8.1 平行六邊行問題
定理8.1  下圖是一個平行六邊形,即ABDE平行,BCEF平行,CDFA平行。試證:三角形ACE與三角形BDF的面積相等。...
 
閱讀全文:8 一題多解的幾何問題
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
三國時代的劉徽割圓術就是利用圓內接正多邊形面積來逼近圓周率π(視圓內接正多邊形面積為圓面積),劉徽注《九章算術》時,從圓內接正六邊形起算,算到正192 邊形,這時候π的近似值為3.141024。劉徽並在注中寫下割圓術的精髓“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至於不可割,則與圓周合體而無所失矣。”
 
閱讀全文:9 祖暅原理與正投影面積公式