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分類：《算術講義》
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
25.1 畢氏數
若正整數a,b,c互質且a,b,c剛好構成一個直角三角形的三邊邊長，即c2=a2+b2，則稱(a,b,c)是一組『畢氏數』。也就是說，邊長是正整數且互質之直角三角形的三邊邊長恰是一組畢氏數。有關畢氏數最有名的結果莫過於克羅內克在1901年證明的底下這個定理：
定理25.1(克羅內克定理) 方程式x2+y2=z2的互質正整數解（即(x,y,z)=1的正整數解x,y,z）或者說任何的畢氏數(x,y,z)均可表為...
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分類：《算術講義》
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
數學家高斯在數學上有許許多多有名的定理及猜想，高斯引理是大家最耳熟能詳及常用的一個。
26.1 高斯引理
定理26.1(高斯引理) 如果首項係數是1的多項式
xm+am-1xm-1+‧‧‧+a1x+a0
整除另一個首項係數為1的多項式
xn+cn-1xn-1+‧‧‧+c1x+c0
其中am-1+‧‧‧+a1+a0為有理數；cn-1+‧‧‧+c1x+c0為整數，則証明
am-1+‧‧‧+a1+a0
必須是整數。（註：這裡的整除是指所得的商是一個首項係數為1，其它項係數為有理數的多項式）...
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
定理27.1 證明：方程式
y2=x3+23
無整數解x與y。
【證明】假設整數x與y滿足原方程式，則我們有
將原方程式改寫為
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分類：《算術講義》
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
本文的主要目的是要探討圓錐曲線上的格子點問題。底下是整數論常用有關因數，倍數的一個引理：若d為正整數，a,b為整數且d│a,d│b，則
d│am+bn,
其中m,n為整數。
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分類：《算術講義》
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
如果一個整係數多項式（以整數為係數的多項式）不能分解為兩個次數大於零次的整係數多項式的乘積則稱這個多項式為質多項式。本節的目的是要提出一些方法來判斷一個多項式是否為質多項式。
29.1 艾森斯坦判別法
設f(x)=xn+an-1xn-1+‧‧‧+a1x+a0 為整係數多項式且存在一個質數p使得
證明f(x)是一個質多項式。