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分類：《算術講義》
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
有十個人出席一場宴會，圍繞一圓桌而坐，這些人中，有的彼此認識，有的卻完全不認識。如果希望這十個人圍繞圓桌而坐的方式至少要：每人的左右鄰座都與他認識，那麼這種圍繞方式是否存在（如何判斷）？事實上，這與哈密頓所思考的一則問題是有關的。
在 1857 年，愛爾蘭數學家哈密頓專注於一個問題：在空間中，一個包含有限個頂點及連結這些頂點的某些邊之圖形當中，在什麼條件之下，可以從一個頂點出發，沿著所連結的邊通過所有的頂點一次，最後再回到原出發的頂點，而形成一封閉的迴路？為了紀念這位偉大的數學家，像這種所有頂點恰好通過一次，最後又回到原本出發頂點的迴路，就稱為哈密頓迴路（要注意的是哈密頓迴路並非一定要走過所有連結的邊，但一定要通過所有的頂點一次）。
在我們認識哈密頓迴路之前，我們先來看有關圖的知識：在空間中任取有限個點（稱這些點為頂點），連結兩個相異頂點的路徑叫做一條邊。如果從這些頂點中去畫出一些邊，就把這個含頂點及這些邊的幾何結構叫做一個圖；例如下圖（一）到圖（四）都是圖。
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分類：《算術講義》
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
將平面上的n個相異點用線段連接可得到n(n-1)/2條線段，這些線段可能都一樣長，可能有些會一樣長。當你實際去畫畫看時，你會發現：當n=3時，可能會畫出三條一樣長的線段；當n=4時，可以畫出六條線段，但至少會出現兩種長度不一的線段；當n=5時，可以畫出十條線段，也會至少出現兩種長度不一的線段。事實上，當n≧4時，連接起來的線段不可能都一樣長，你可以畫畫看。
我們來看看，平面上任意給定 個相異點至少可以連接出多少種長度不一的線段？
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分類：《算術講義》
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
利用第3節的一次因式檢驗法，很容易知道：
不是有理數，也就是說，對任意整數p≠0與q恆有
不是有理數，也就是說，對任意整數p≠0與q恆有
劉維爾定理就是在考慮像這種無理數與有理數（分數）
差的範圍。
這種無理數與有理數（分數）差的範圍。- 詳細內容
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分類：《算術講義》
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
在這節裡，我們要探討一則很重要的數列…費氏數列。它不僅在數學上重要，即使是在動植物界、藝術、建築、財經等方面，也扮演著很關鍵的角色。
23.1 二階遞迴數列的通解
定理23.1 若數列<fn> 滿足
fn+2=afn+1+bfn,
其中a,b為實數且令α0,β0為二次方程式x2=ax+b的兩個相異根。證明：可以找到α及β使得
fn=αα0n+ββ0n.
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分類：《算術講義》
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
24.1 費馬小定理
費馬小定理是初等數論上一個基本而且重要的定理。現在敘述而且證明如下：
定理24.1(費馬小定理) 設p是質數，a是與p互質的一個整數則
(1) 
(2) 若d是使得
成立的最小正整數，則
成立的最小正整數，則
d│(p-1).