34 拋向空中的繩環遊戲…玩弄圓與橢圓於股掌之中
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分類：戲說數學
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發佈於：14 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
看過韻律體操表演嗎？女韻律體操選手將繩、球、帶、環或棒拋向空中，進行各種動作的表演，實在精彩。對學數學的人來說，除了這些東西在空中所走的路徑是拋物線外，不知道還有怎樣深刻的發現。我們以繩環為例，看看你對拋向空中的繩環有何數學發現：
韻律體操選手將一長度為4a的繩環拋向空中，是否任何時刻都可以在空中畫一個半徑為a的球，讓整個繩環完全落在球的內部或者球面上？〔這裡的「繩環」是指將長4a的繩子頭尾相接所形成的環狀繩子〕
我們在繩環任取一點A，接著取另一點B使得兩點將繩環等分，即沿著繩子從A到B的長度恰好是2a，如下圖所示：
令P是繩環上的任一點，連接三角形PAB，且令O為
的中點。與繩環的長度相比，可以得到不等式
的中點。與繩環的長度相比，可以得到不等式
設Q是P對O點的對稱點，即O是
的中點，此時四邊形PAQB為平行四邊形，如下圖所示：
的中點，此時四邊形PAQB為平行四邊形，如下圖所示：
利用三角不等式
及
，得
及，得
綜合上述兩個不等式，得
這不等式告訴我們：繩環上任一點P至固定點O的距離不超過a，也就是說，整個繩環落在以O點為球心，半徑為a的球內。
上述的解法是利用圓（或球）的知識解題，接下來我們使用橢圓的定義來處理：不等式
啟發我們考慮以A及B為焦點，半長軸a的橢圓
，即橢圓是平面上到A,B兩點之距離和為2a的點所成的圖形。這不等式告訴我們：繩環上任一點P都落在橢圓的內部。
，即橢圓是平面上到A,B兩點之距離和為2a的點所成的圖形。這不等式告訴我們：繩環上任一點P都落在橢圓的內部。
又因為橢圓的半短軸不超過半長軸，所以橢圓落在以中點O為圓心，半徑a的圓內部，如下圖所示：
落在以中點O為圓心，半徑a的圓內部，如下圖所示：
事實上，我們甚至可以證明：這個繩環會落在對角線為2a的正立方體內。
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