31 三用瓶塞…三度空間的設計大師
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分類：戲說數學
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發佈於：14 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
螞蟻只能看到平面（二維空間）的事物，只能在二維空間內做360度方向上的任意運動。雖然螞蟻只生活在平面上，但是科學家卻發現螞蟻能利用幾何原則尋找回窩的路，螞蟻天生俱有某種幾何的洞悟力。螞蟻的路線系統就像羅馬人的道路一樣…條條道路通羅馬；對螞蟻來說…條條路線通蟻窩。
要了解螞蟻尋找方向的訣竅，可以假想有一個「Y」字母的交叉點，而一隻離開蟻窩的螞蟻從「Y」字母底下往上爬，碰到這樣一個叉路，發現有兩條以狹窄角度交叉的路線。相反地，回窩的螞蟻會碰到兩條叉路：一條的交叉角度較小，而另一條的角度大得多，角度較大的那一條路才是回家的路。也就是說，螞蟻的網路是由「Y」字來構成，而且較小的交叉角是60度左右，科學家稱它為「六十度法則」。如下圖所示，一隻螞蟻從蟻窩出來，朝東邊方向以六十度法則向外覓食，而這蟻窩的螞蟻構造了向東及向西兩個方向的覓食網：
雖然螞蟻的世界只有二維，但是牠們卻會使用二維的幾何原則來辨識方向。同樣的，身處三維空間的人們，是否也會妥善利用立體空間的幾何所帶來的好處呢？
某人收集了三只瓶子，形狀如下圖所示：
他們的瓶口形狀分別如圖①，圖②及圖③。現在他想只做一個立體瓶塞，對三個瓶子都能適用。
請你幫他設計一下。
拜我們生活的三維空間所賜，可以利用三個維度來設計一個一體適用的瓶塞。取一個正立方體木塞，因為立方體有上下，前後及左右等六個面，所以可以讓這三種面向各自成為三種瓶子的瓶塞：
(1) 首先，讓上下方向與方形瓶口一樣。
(2) 接著，讓前後方向與凸形瓶口一致。
(3) 最後，讓左右方向跟圓形瓶口相同。
如下圖所示，這個特製的瓶塞剛好可以用來當這三種瓶子的瓶塞：
再讓我們來計算一下螞蟻的問題：
如果「Y」字的三段長度都是1，那麼下圖中兩個黑點的距離（最短距離）為何？
可以利用畢氏定理或餘弦定理得到兩點距離為
。
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 31 saymathsgame.pdf | 155 Kb |