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分類：《算術講義》
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發佈於：25 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
31.1 格子點與面積
定理31.1 在座標平面上，x,y 座標均為整數的點稱為格子點。三角形ABC的三個頂點均為格子點且除此之外，三角形 ABC 的內部（含邊上）無其它 x,y 座標均為整數的格子點。試證明此種三角形ABC 的面積為1/2.
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分類：《算術講義》
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發佈於：25 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
32.1 同餘數與例子
一個正整數N稱為同餘數是指“存在一個三邊都是有理數的直角三角形且此直角三角形的面積恰為N”。例如N=5,6,7都是同餘數，它們所對應的直角三角形如下（註：很多有理數邊長的直角三角形之面積為同一個同餘數N是可能發生的)：
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分類：《算術講義》
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發佈於：25 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
本文的主要目的是證明拉格朗日定理：每一個正整數皆可表為四個整數的平方和及高斯的三角形數定理：每一個正整數皆可表為三個三角形數的和。
33.1 尤拉恆等式
我們很容易證得如下的斐波那契恆等式：
(x12+x22)(y12+y22)=(x1y1-x2y2)2+(x1y2+x2y1)2.
事實上，我們有較複雜的尤拉恆等式：
(x12+x22+x32+x42)(y12+y22+y32+y42)=z12+z22+z32+z42,
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分類：《算術講義》
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
一個複數 α 稱為代數整數是指：可以找到一個首項係數為1，而且其它係數都是整數的多項式
滿足 f(α)=0 。使得上述條件成立的最低次多項式（首項係數限為1）f(x)用符號 Mα(x) 表示，並稱此為 α 的最小多項式。例如：
時，因為
，所以
時，因為，所以 
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分類：《算術講義》
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發佈於：25 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
在1節中，我們對“質數有無窮多個”給了許多種不同的證明方法。事實上，除了2是偶質數之外，剩下的質數都是奇質數。因為奇數可以分為被4除之，餘數為1與3兩類，所以在兩類中，是否都有無窮多個質數是這裡要探討的重點。我們將質數依被4除之，所得的餘數做分類如下：
事實上，任一公差與首項互質的算術數列（等差數列）均包含有無窮多個質數。這是十九世紀很有名的狄利克雷定理。由於狄利克雷定理的證明很難，在此我們僅討論一些特殊的算術數列而已（如被4除之，餘數為1或3，被6除之，餘數為5等算術數列）。底下是整數論常用有關因數，倍數的一個引理：設 d 為正整數，a,b 為整數且d│a,d│b 則
d│am+bn,
其中m,n為整數。