作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
31.1 格子點與面積
 
定理31.1  在座標平面上,x,y 座標均為整數的點稱為格子點。三角形ABC的三個頂點均為格子點且除此之外,三角形 ABC 的內部(含邊上)無其它 x,y 座標均為整數的格子點。試證明此種三角形ABC 的面積為1/2.  
 
閱讀全文:31 格子點問題
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
32.1 同餘數與例子
 
一個正整數N稱為同餘數是指“存在一個三邊都是有理數的直角三角形且此直角三角形的面積恰為N”。例如N=5,6,7都是同餘數,它們所對應的直角三角形如下(註:很多有理數邊長的直角三角形之面積為同一個同餘數N是可能發生的):
 
閱讀全文:32 同餘數與斐波那契問題
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
本文的主要目的是證明拉格朗日定理:每一個正整數皆可表為四個整數的平方和及高斯的三角形數定理:每一個正整數皆可表為三個三角形數的和。
 
33.1 尤拉恆等式
我們很容易證得如下的斐波那契恆等式:
(x12+x22)(y12+y22)=(x1y1-x2y2)2+(x1y2+x2y1)2.
 
事實上,我們有較複雜的尤拉恆等式:
(x12+x22+x32+x42)(y12+y22+y32+y42)=z12+z22+z32+z42,
 
閱讀全文:33 四平方和定理
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
一個複數 α 稱為代數整數是指:可以找到一個首項係數為1,而且其它係數都是整數的多項式
 
滿足 f(α)=0 。使得上述條件成立的最低次多項式(首項係數限為1)f(x)用符號 Mα(x) 表示,並稱此為 α 的最小多項式。例如:時,因為,所以 
閱讀全文:34 代數整數與整係數質多項式
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
在1節中,我們對“質數有無窮多個”給了許多種不同的證明方法。事實上,除了2是偶質數之外,剩下的質數都是奇質數。因為奇數可以分為被4除之,餘數為1與3兩類,所以在兩類中,是否都有無窮多個質數是這裡要探討的重點。我們將質數依被4除之,所得的餘數做分類如下:
事實上,任一公差與首項互質的算術數列(等差數列)均包含有無窮多個質數。這是十九世紀很有名的狄利克雷定理。由於狄利克雷定理的證明很難,在此我們僅討論一些特殊的算術數列而已(如被4除之,餘數為1或3,被6除之,餘數為5等算術數列)。底下是整數論常用有關因數,倍數的一個引理:設 為正整數,a,b 為整數且da,d
dam+bn
其中m,n為整數。
 
閱讀全文:35 質數問題