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分類：《算術講義》
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
“孫子算經”是中國古代一部優秀數學著作，確切的出版年月無從考證。其中有“物不知其數”一問，原文如下：“今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？”
這類的問題在中國古代數學史上有不少有趣的名稱。除上所說的“物不知其數”外，還有稱之為“鬼谷算”的，“秦王暗點兵”的，“神奇妙算”的，“大衍求一術”的，…，等等。
這問題是屬於數論中算術數列（等差數列）的範疇。在這節裡，我們將對這樣的問題進行更為一般的探索。值得一提的是，本節所用的同餘符號“≡”是高斯在1799 年時所引進，發明的。由於同餘符號“≡”的方便好用，後來廣為數學家所使用。可以說是一個家喻戶曉的數學符號。
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分類：《算術講義》
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
俗語說“路遙知馬力，日久見人心”， “知人知面不知心”。可見想暸解一個人的心裡想甚麼是很困難的一件事。這節的謎題就是想藉著43, 57 這兩個數字，來猜透一個人心裡所想的數字。過程是這樣的：
你在心裡想一個小於50 的正整數（可別說出來哪個數），且從43, 57 這兩數中選一個數（同樣不說出選哪一個數）。然後將心裡想的數與選的數相乘（例如：（表一）是你心裡想的數為38，選的數為43 所得到的計算結果；（表二）則是你心裡想的數為46，選的數為57 所得到的計算結果）。
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分類：《算術講義》
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
在這裡，我們將針對兩則幾何問題提出多種不同的解法，讓讀者耳目一新。特別是第二則幾何問題，在一般的幾何書籍上容易發現，但是它的解法大致只有一種。在此提供其它解法供各位欣賞。
8.1 平行六邊行問題
定理8.1 下圖是一個平行六邊形，即AB與DE平行，BC與EF平行，CD與FA平行。試證：三角形ACE與三角形BDF的面積相等。...
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分類：《算術講義》
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
三國時代的劉徽割圓術就是利用圓內接正多邊形面積來逼近圓周率π（視圓內接正多邊形面積為圓面積），劉徽注《九章算術》時，從圓內接正六邊形起算，算到正192 邊形，這時候π的近似值為3.141024。劉徽並在注中寫下割圓術的精髓“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。”
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分類：《算術講義》
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發佈於：28 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
劉徽割圓術：
割之彌細，所失彌少，割之又割，以至
於不可割，則與圓周合體而無所失矣。
大家都知道圓周率π的近似值為
3.141592653‧‧‧‧‧‧.
可是你曾想過這個既神祕又浪漫的數π的定義是甚麼嗎？它又是如何估算出來的呢？本文章就是要從歷史上不同的角度來暸解π，及暸解數學家如何估計π的近似值。
古代人類（或者數學家）在割地（或作圖）時，最常使用的工具大概就是直尺與圓規了。直尺用來畫直線或線段，圓規可以用來畫各種大小不同尺寸的圓。因此直線、線段與圓便構成初等幾何（人類認識幾何）的基本要素。因為直線、線段是直直的，度量長度時比較簡單，所以它們比較單純。至於圓，因為是屬於弧線造型，不容易測量長度，所以比較神祕一點。也因為這樣，嘗試去解開圓的神秘性（測量它的長度與面積）便成為初等幾何學上首先要克服的問題。在平面上取一個固定點當圓心，用圓規畫一個圓，再用直尺畫一條通過圓心的直線。這時自然產生兩個要測量的線段，一個是這個圓的周長（弧形），另一個則是將這個圓面積二等分的直徑（直線形）。如果我們將所畫出的圓與直徑放在影印機下，調整影印的倍數，則可以得到所有不同大小尺寸的圓。此時圓的周長與直徑亦隨著這個倍數伸縮。因此我們得到一個結論就是“任一圓的周長與其直徑的比值是一個固定的常數”。我們把這個神祕的常數稱為圓周率，用符號π來表示，也就是說...