許志農談數學 - 非想非非想數學網

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

數學家高斯在數學上有許許多多有名的定理及猜想，高斯引理是大家最耳熟能詳及常用的一個。

26.1 高斯引理

定理26.1(高斯引理) 如果首項係數是1的多項式

x^m+a_m_-1x^m^-1+‧‧‧+a₁x+a₀

整除另一個首項係數為1的多項式

xⁿ+c_n_-1xⁿ^-1+‧‧‧+c₁x+c₀

其中a_m_-1+‧‧‧+a₁+a₀為有理數；c_n_-1+‧‧‧+c₁x+c₀為整數，則証明

a_m_-1+‧‧‧+a₁+a₀

必須是整數。（註：這裡的整除是指所得的商是一個首項係數為1，其它項係數為有理數的多項式）...

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

定理27.1 證明：方程式

y²=x³+23

無整數解x與y。

【證明】假設整數x與y滿足原方程式，則我們有

將原方程式改寫為

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

本文的主要目的是要探討圓錐曲線上的格子點問題。底下是整數論常用有關因數，倍數的一個引理：若d為正整數，a,b為整數且d│a,d│b，則

d│am+bn,

其中m,n為整數。

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

如果一個整係數多項式（以整數為係數的多項式）不能分解為兩個次數大於零次的整係數多項式的乘積則稱這個多項式為質多項式。本節的目的是要提出一些方法來判斷一個多項式是否為質多項式。

29.1 艾森斯坦判別法

設f(x)=xⁿ+a_n-1x^n-1+‧‧‧+a₁x+a₀ 為整係數多項式且存在一個質數p使得

證明f(x)是一個質多項式。

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

質數可以簡單的分成2及奇質數，其中奇質數又可分成被4除餘1，被4除餘3兩大類。前幾個被4除餘1的質數為

5,13,17,29,37,‧‧‧

這類質數有如下的特性：

5=1²+2²,13=2²+3²,17=1²+4²,29=2²+5²,37=1²+6²,‧‧‧

這節的目的就是要證明“被4除之，餘數為1的質數均可表為兩個正整數的平方和”。

在證明這定理之前，我們先證明威爾遜及圖埃定理，然後再利用它們來證明主要的定理。

26 高斯引理