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分類：《算術講義》
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發佈於：29 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
我們都知道組合學上的符號
代表從 n 個相異的東西中選取 j 個的方法數。有了這個符號之後，很容易的可以將多項式 (y+1)n展開成如下的式子
因為這樣的關係，我們經常從組合的方法數或者從多項式展開式的係數這兩種觀點來考慮組合學上的恆等式。這節的目的就是要證明中國數學家李善蘭在組合學上的一則恆等式。首先我們先證明一個引理。
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分類：《算術講義》
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發佈於：16 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
設正整數 x,y 滿足x2─2y2=1。證明：可以找到一個正整數n使得
【證明】圓錐曲線x2─2y2=1為雙曲線，我們容易算得離原點最近的兩個正整數解為(3,2),(17,12)
（註：
）；而且若正整數 x,y 滿足
）；而且若正整數 x,y 滿足
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分類：《算術講義》
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發佈於：16 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
38.1 回顧一元二次方程式
如果 p,q 是兩個實數，多項式函數f(x)=x2─px+q在座標平面上的圖形為開口向上的拋物線。至於此拋物線與 x 軸相交（相切或相離）的情形完全由此二次方程式的判別式
Δ( f )=p2─4q
來決定。大慨的情形是這樣的：
(1) 若Δ( f )>0，則此拋物線與 x 軸相交於相異的兩點（或此方程式有相異的兩實根）。
(2) 若Δ( f )=0，則此拋物線與 x 軸相切（或此方程式有相等的兩實根）。
(3) 若Δ( f )<0，則此拋物線與 x 軸相離（或此方程式有相異的共軛複數根）。
閱讀全文：38 一元三次方程式的判別式
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分類：《算術講義》
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發佈於：15 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
在1900年時，希爾伯特於巴黎舉行的第二屆國際數學會議上，提出了歷史上尚未解決的二十三個數學問題集。其中第三問題是有關多面體的分割問題。為了易於暸解及歷史發展的原因，我們從較簡單的多邊形的分割問題講起。同時為了方便討論起見，本文所指的多邊形與多面體都是指凸多邊形與凸多面體（事實上，這樣的條件限制可以剔除）。
39.1 多邊形的基本定理
假如我們手邊有有限個多邊形（形狀可以相異），甲利用這些多邊形拼湊出一個大多邊形 R ；乙卻利用這些多邊形拼湊出另一個大多邊形 T 。儘管 R 與 T 的形狀可能不一樣，但是它們的面積一定相同（因為均由同樣的多邊形拼湊而成，差別僅在拼湊方式而已）。為了方便起見，我們稱這樣拼湊而成的多邊形 R 與 T 同餘。關於同餘多邊形，最典型，也是最膾炙人口的例子有
閱讀全文：39 希爾伯特第三問題- 詳細內容
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分類：《算術講義》
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發佈於：15 十月 2013
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
數學家狄利克雷利用簡單的鴿籠原理證明了有名的狄利克雷定理：
定理40.1(狄利克雷定理) 如果 α 是實數，N 是一個正整數，則可以找到正整數 n( 1 ≦ n ≦ N ) 及整數 m 滿足
【證明】考慮下列 N 個實數
由於此 N 個數落在
N 個區間內，所以有底下兩種情形：
閱讀全文：40 狄利克雷定理