50 高斯戲弄五邊形…稀少，但成熟的數學風格

詳細內容: 分類：戲說數學; 發佈於：15 四月 2014; 點擊數：1041

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

提到高斯，大家總是聯想到

1+2+3+‧‧‧+100=5050

的故事；有時也會提到高斯是第一位證明正十七邊形可以尺規作圖的數學家；或者說高斯的數學風格是稀少，但成熟。這裡我們要引導讀者完成一則五邊形的面積公式，知道這個公式的人不多，曉得公式是高斯所發現的更少。

一般而言，從解題者的草稿紙或論證呈現次序總是可以一窺解題者的思考脈絡，就像從建築物的鷹架可以理解這建築物的搭建先後次序一樣。但是高斯卻是異數，他在完成數學作品後總是將思考痕跡擦得一乾二淨，將鷹架徹底移除。他的數學作品總是成熟，完美，讓人讚嘆，卻又看不出任何思考線索。

現在就讓我們來嘗試重建「高斯五邊形面積公式」的鷹架：俗語說得好「凡事起頭難」，但我們的起頭卻相當容易，只是大家想不到而已。你會認為

pr+q(p+q+r)=(p+q)(q+r)

是個很難的等式嗎？一點都不難，只需將兩邊分別乘開，就馬上看出相等了。雖然在中學教科書未曾出現過這個等式，但它卻是一個相當有用的公式，有人稱它為蒙日等式。

我們也可以透過底下的面積演變，證明蒙日等式：

我們也可以用文字來記憶蒙日等式：「將一個數拆成三項的和，頭尾兩項的積加上中項與全數的積會等於前兩項和與後兩項和的乘積。」

既然要討論五邊形，就讓我們畫個隨意的凸五邊形A₀A₁A₂A₃A₄。為了方便起見，令三角形A₀A₁B的面積為p，A₀BC的面積為q，A₀CA₄的面積為r；令線段

是線段

的m倍，

是

的n倍；並將三角形A₀A₁A₂,A₀A₂A₃,A₀A₃A₄,A₀A₁A₄,A₀A₁A₃,A₀A₂A₄的面積分別記為π₁₂,π₂₃,π₃₄,π₁₄,π₁₃,π₂₄：

有了五邊形圖形及符號定義之後，我們可以得出底下的面積關係：

把這六個式子代入蒙日等式，得

即

π₁₂π₃₄+π₂₃π₁₄=π₁₃π₂₄.

真想不到，從五邊形的一個頂點出發，總共可以畫出六個三角形，而他們的面積有這樣美好的等式關係。我嘗試將五邊形的所有對角線都畫上，如下圖所示，此時對角線將五邊形分割成11塊區域：

把這11塊區域分別用符號標示，並把公式中的六個區域分別寫成這11塊區域的部分和，然後代入等式驗算，發現沒辦法完全消掉。這告訴我們，這個恆等式隱含著比11塊區域還多的訊息。現在就讓讀者操作一下剩下的部分。同樣是這個五邊形，我們把相鄰三個頂點A₁,A₀,A₄所形成的三角形∆A₁A₀A₄之面積記為a₀，同樣的，三角形∆A₂A₁A₀,∆A₃A₂A₁,∆A₄A₃A₂及∆A₀A₄A₃的面積分別記為a₁,a₂,a₃及a₄，剛好每個頂點對應一個三角形，我麼稱它們為此五邊形的基本三角形。

設五邊形A₀A₁A₂A₃A₄的面積為

，試著利用基本三角形的面積a₀,a₁,a₂,a₃及a₄來表示五邊形A₀A₁A₂A₃A₄的面積

。

我們手上已經有一個面積恆等式

π₁₂π₃₄+π₂₃π₁₄=π₁₃π₂₄.

如果可以將恆等式中的六個值都用a₀,a₁,a₂,a₃,a₄及

來表示，那麼就可以求得

的公式了。

在走得更遠的路之前，讓我們停下來講個故事。幾年前中部一所大學舉辦一場研習，請了幾位數學教授演講有趣的數學題材，我就是講高斯五邊形定理這個主題，在演講結束後，參與研習的聽眾都對這個第一次聽到的公式很有興趣，然而午餐時間，主辦這場研習的教授問我一個問題：「知道這個五邊形的面積公式，對人類有什麼意義嗎？」我一時不知如何回答他的問題。現在想想，如果把對人類不是太有意義的事情，如音樂﹑藝術﹑登入月球﹑探測火星﹑宇宙有多大…等，都擱置或者不鼓勵研究，那麼我們的生活或世界會是個什麼模樣呢？

因為π₁₂是三角形A₀A₁A₂的面積，所以π₁₂=a₁；同理π₃₄=a₄,π₁₄=a₀。又從下面三個圖知道

將這些式子代入

π₁₂π₃₄+π₂₃π₁₄=π₁₃π₂₄.

得到

整理移項得

也就是說，五邊形A₀A₁A₂A₃A₄的面積

是二次方程式

x²-(a₀+a₁+a₂+a₃+a₄)x+(a₀a₁+a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+a₄a₀)=0

的一根，將二次方程式的根之公式解出，就得到

的公式。

附加檔案：
File	File size
50 saymathsgame.pdf	267 Kb

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