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【作輔助圖】

1.直角三角形\(ABC\)中，延長\(\overline { AC } \)並過\(B\)作\(\overline { AB } \)的垂直線，兩線相交於\(D\)。

【求證過程】

先證明\(\triangle ABC\)、\(\triangle ADB\)及\(\triangle BDC\)為相似三角形，再利用兩個小三角形的面積和為大三角形面積，以及相似形的邊形成比例的特性，即可證明畢氏定理的關係式。

【作輔助圖】

1.直角三角形\(ABC\)中，作\(\overline { AC } \)的延伸線並過\(B\)作\(\overline { AB } \)的垂直線，兩線相交於\(F\)。

2.接著過\(A\)向外作\(\overline { AB } \)的垂直線，並取一點\(D\)使得\(\overline { AD }=\overline { BF } \)，連\(\overline { BD } \)。

3.最後過\(A\)向外作\(\overline { AC } \)的垂直線，並取一點\(E\)使得\(\overline { AE }=\overline { BC } \)，連\(\overline { CE } \)。

【求證過程】

先以直角三角形的三邊為邊為中邊，向外作相似於原直角三角形的直角三角形。可以以全等方式證明最大的直角三角形恰好為兩個小直角三角形的面積之和。再透過相似形邊長成比例的性質，並利用到等量乘法原理的代數操作，即可證明畢氏定理關係式。

【作輔助圖】

1.以直角三角形\(ABC\)的斜邊\(\overline { AB } \)為直徑作圓。

2.過\(A\)作直線平行於\(\overline { BC } \)，交圓於\(D\)，連\(\overline { BD } \)。

【求證過程】

先以輔助線作出圓及其內接長方形\(ACBD\)，根據托勒密定理(Ptolemy’s Theorem)，圓內接任意四邊形的兩組對邊乘積和等於對角形的乘積。就可以輕易地證出畢氏定理關係式。

【作輔助圖】

1.過直角三角形\(ABC\)的\(C\)點作\(\overline { BC } \)的高，垂足\(D\)。

2.以\(\overline { AC } \)為直徑作圓\({ \Gamma }_{ 1 }\)，並以\(\overline { BC } \)為直徑作圓\({ \Gamma }_{ 2 }\)。

【求證過程】

作直角三角形斜邊上的高，並以直角三角形的兩股為直徑作圓，利用圓的切割線定理，再將兩個切線段平方加起來，即可透過簡單的代數運算性質得證畢氏定理關係式。

【作輔助圖】

1.此證明不需要加作輔助線。

【求證過程】

直接兩種不同的方式計算直角三角形面積，一是使用海龍公式(Heron’s Formula)，另一是使用底乘高除以二計算。再透過代數運算整性質整理，即可得到畢氏定理關係式。

勾股定理證明-Bog019