作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

「每個元素都大於或等於0，且每一行的和都是1」的矩陣稱為「轉移矩陣」，例如

就是三階的轉移矩陣。在日常生活中，有許多事物都跟轉移矩陣相關，差別只在於我們無法與它連結起來而已。既使是中學課程，也很少舉出很漂亮的轉移矩陣的應用實例。

這裡所要介紹的倒水問題就是一道典型，但不易被察覺的轉移矩陣實例： 

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

以數學為內容的競賽有著悠久的歷史：古希臘時就有解幾何難題的比賽；十三世紀在義大利有所謂的宮廷數學競賽，斐波那契參加過這項考試，其著作《花朵》就涵蓋了宮廷數學競賽的一些問題；十六世紀在義大利有過關於塔塔利亞求解三次方程的激烈競爭；十七世紀，不少數學家喜歡提出一些問題向其他數學家挑戰，費馬所提出的費馬大定理就是一個例子；十九世紀，法國科學院以懸賞的方法徵求對數學難題的解答，常常獲得一些重要的數學發現，高斯就是比賽的優勝者。但是，專門以中學生為對象的數學競賽源於匈牙利，在1894年，匈牙利舉辦第一屆由高中學生參加的數學競賽，此競賽每年十月舉行，每次出三題，限四小時完成，允許使用任何參考書。到今天已經舉辦了一百多屆，為了感謝匈牙利數學家柯施克（J. Kürschak，1864 1933）當初對此競賽所付出的努力及其對數學的貢獻，這項比賽也改以柯施克數學競賽來命名。我們在市面買到的匈牙利數學競賽問題與解答就是當年柯施克編輯的。

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

「圍貓遊戲」是線上遊戲的一種，其目的除了好玩之外，還可以測試玩者的決策能力。在佈滿圓形的長方形棋盤上，每個圓形都與六個圓形相連，一隻貓立於棋盤中央的圓形內，玩者每次將一個圓形塗黑來圍堵貓，但貓可以往尚未被塗色的隔壁圓形移動。在玩者圍堵與貓移動的輪流遊戲過程中，若貓被圍住，則玩者贏，否則就是貓逃脫成功。下圖是貓被圍住的一種情形：

 

圍貓遊戲是心理學家所設計出來的一道數學遊戲，心理學家把貓視為需要接受輔導的對象（或是叛逆的學生），而圍貓的人是輔導專家（或學校的導師），黑色圓圈是貓的朋友或損友，輔導專家或學校的導師必須透過這些朋友或損友的幫忙，將貓咪圍起來才算輔導成功。日本Game Design團體將圍貓遊戲數位化，寫成Flash的版本，可以在網路上用「圍貓遊戲」四個字搜尋，在線上玩此遊戲。

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

在棋盤上玩遊戲是大家都共有的體驗，如象棋，暗棋，五子棋，跳棋，圍棋，西洋棋等，這些都是日常生活中經常碰到的棋盤遊戲。就是這些棋盤大家熟悉，許多數學遊戲也借助這類棋盤來玩，這裡要介紹的黑白走遊戲就是一個例子。

 

在縱橫都刻有0, 1, 2, 3刻度的正方形棋盤的格子內放黑球1顆於右上角的格子內，白球 14顆於其餘格子內，並讓左下角的格子內空白，如下圖所示：

 

在每次僅能移動空白格的前後左右格內之球至空白格內的條件下，至少需要移動幾次才能讓黑球跑到左下角的格子內。

 

當棋盤擴張成縱橫都刻有0,1,2,3,‧‧‧,n刻度的正方形棋盤時，結果又為何？

 

將棋盤擴張成長方形棋盤時，結果又為何？