4 亂點鴛鴦譜…圓圈數
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分類：戲說數學
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發佈於：09 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
每個人都有兩隻手，在亂點鴛鴦譜的活動中，每人的每一隻手都恰與另一隻手（可以是自己的另一隻手或他人的手）握住。這時所有人的手交錯揪成一團，但是仔細辨識，還是可以區分哪幾個人是相連在一塊的，這些相連在一塊的人剛好圍成一個圓圈。最小的圓圈就是自己的兩隻手握在一起，再來就是兩個人的兩隻手互相握在一起，形成兩個人的圓圈，…。
如果只有三個人，那麼圍出的圓圈數之期望值是多少呢？
這道問題也可以抽象為：隨手取出n條線直線，共計有2n個端點，首先將兩個端點綁在一塊，再將另兩個端點綁在一塊，如此進行下去，把最後的兩個端點也綁在一塊。此時，這n條線直線會圍成數個圓圈，令En代表所結圓圈數的期望值。
(1) 求E1的值。
(2) 證明En滿足遞迴關係
(3) 求E2,E3,E4的值。
我們分析如下：
(1) 當1條繩子時，剛好圍成一個圓圈，即E1=1。
(2) 在n條繩子的情況：
① 第一次選取的兩點剛好是同一條繩子的端點之機率為
此時所圍成的圓圈數為1+En-1。
② 第一次選取的兩點剛好是不同條繩子的端點之機率為
此時所圍成的圓圈數為En-1。
綜合①與②，我們有
(3) 利用E1=1及遞迴關係
我們得
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