作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

螞蟻只能看到平面（二維空間）的事物，只能在二維空間內做360度方向上的任意運動。雖然螞蟻只生活在平面上，但是科學家卻發現螞蟻能利用幾何原則尋找回窩的路，螞蟻天生俱有某種幾何的洞悟力。螞蟻的路線系統就像羅馬人的道路一樣…條條道路通羅馬；對螞蟻來說…條條路線通蟻窩。

要了解螞蟻尋找方向的訣竅，可以假想有一個「Y」字母的交叉點，而一隻離開蟻窩的螞蟻從「Y」字母底下往上爬，碰到這樣一個叉路，發現有兩條以狹窄角度交叉的路線。相反地，回窩的螞蟻會碰到兩條叉路：一條的交叉角度較小，而另一條的角度大得多，角度較大的那一條路才是回家的路。也就是說，螞蟻的網路是由「Y」字來構成，而且較小的交叉角是60度左右，科學家稱它為「六十度法則」。如下圖所示，一隻螞蟻從蟻窩出來，朝東邊方向以六十度法則向外覓食，而這蟻窩的螞蟻構造了向東及向西兩個方向的覓食網：

 

雖然螞蟻的世界只有二維，但是牠們卻會使用二維的幾何原則來辨識方向。同樣的，身處三維空間的人們，是否也會妥善利用立體空間的幾何所帶來的好處呢？

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

測量與計算是一對孿生兄弟，有了測量數據後，必須借用有效的數學公式，才能經由計算得到更多想要知道的數據。相似三角形的對應邊之邊長成比例與勾股定理是國中生常用的計算公式，而正弦與餘弦定理則是高中生的計算公式。

 

劉徽的《海島算經》只有九道測量問題被留傳下來，其中的第一題可說是最經典，最常被引用的問題：

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

相信大家都在電腦上玩過彈珠台遊戲，這種虛擬，完全由程式控制的電玩遊戲好玩又方便。但真正玩過實體彈珠台遊戲的人可能逐漸稀少了。彈珠台的設計原理就是當彈珠滾到叉路時，因為碰到尖點的關係，所以往左或向右走的機會是一樣的。在路邊玩過彈珠台的人都會清楚，落在離中央越近砸道的彈珠最多。這樣的情形是那個數學原理導致的呢？就讓我們以下面造型的彈珠台來解釋彈珠台的數學原理：

 

將十六顆彈珠從頂端投入彈珠台，落在每一砸道的彈珠數目，最合理的分配為何？

 

如下圖所示，16顆彈珠從頂端投入彈珠台後，會有8顆往左，8顆向右，所以第一層的兩格以數字8, 8來呈現。接下來考慮第二層，左﹑右兩邊的8顆彈珠也是會有4顆往左， 4顆向右，所以第二層的三格以數字4, 8, 4來呈現。同樣的道理，可以知道：第三層的四格數字為2, 6, 6, 2；最後一層的五格數字為1, 4, 6, 4, 1：

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

看過韻律體操表演嗎？女韻律體操選手將繩、球、帶、環或棒拋向空中，進行各種動作的表演，實在精彩。對學數學的人來說，除了這些東西在空中所走的路徑是拋物線外，不知道還有怎樣深刻的發現。我們以繩環為例，看看你對拋向空中的繩環有何數學發現：

 

 

韻律體操選手將一長度為4a的繩環拋向空中，是否任何時刻都可以在空中畫一個半徑為a的球，讓整個繩環完全落在球的內部或者球面上？〔這裡的「繩環」是指將長4a的繩子頭尾相接所形成的環狀繩子〕