1 雞同鴨講…相間何太急
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分類：戲說數學
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發佈於：09 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
這裡所要介紹的遊戲是改編自香港網站上「機靈金幣」的遊戲。在下圖中，有三隻雞與三隻鴨排成一列，中間沒有空格，而且左邊三隻為雞，右邊三隻為鴨。每次只能抓取相鄰的兩隻，並將他們移動到其它相鄰的兩個空格上，不可以交換雞與鴨的左右次序。當三對雞、鴨（即三隻雞與三隻鴨）相鄰地排成一排，而且雞與鴨剛好相間（雞與鴨相鄰）時，完成遊戲：
要完成三對雞、鴨相間的排列並不困難，我們的要求是：最少可以在多少次的抓取內完成它。經過練習之後，相信讀者可以找到三次的抓取方法。這裡把抓取遊戲延伸為以下的遊戲：
當雞與鴨改為6對時，也就是說，有6隻雞與6隻鴨排成一列，任兩隻中間沒有空格，而且左邊6隻為雞，右邊6隻為鴨，至少需要幾次的抓取，方能讓這12隻雞與鴨完全相鄰，而且雞與鴨相間。
從比較少的對數嘗試起，會是一個可行的方法，從少隻雞﹑鴨的抓取中累積經驗或者看出策略，是進行數學思考相當重要的步驟。關於這道遊戲，在4對或5對時，就有點難度，6對是重要的關卡。以下是兩組人馬關於6對的研究情形。
師大數學系李曉玫同學針對6對雞、鴨情形提出7次的抓取方法，如下圖所示：
她也預期這是最少次的抓取方式，並給 對雞、鴨的一般情形提出最少抓取次數的猜測如下
① 當n=1時，0次（雞與鴨已經相鄰且相間）。
② 當n=2時，無法完成。
③ 當n=4k+2（即n=6,10,14‧‧‧）時，至少需要n+1次。
④ 當 不是上述情形時，都是n次。
以上的數據只是臆測，需要透過數學給予嚴密的證明，才算正確的答案。
國立屏東女中數學科教師蔡欣蓉及她的學生們討論出6對雞、鴨，只需6次就可以完成的情形，也就是說，在n=4k+2的情形，她們改進了李曉玫的結果，移動方法如下圖所示
從上述的方法可知：李曉玫同學的臆測是不完全正確的，綜合她們的討論，比較可能的答案或許是
① 當n=1時，0次（雞與鴨已經相鄰且相間）。
② 當n=2時，無法完成。
③ 當n不是上述兩種情形時，都是n次。
雞同鴨講的啟發與延伸：
(1) 嘗試將格子定奇﹑偶（定+1或-1也可以），然後證明「n對雞、鴨，至少需要n次才能讓雞與鴨相間且相鄰」，這樣就離目標更進一步了。
(2) 討論每次可以取相鄰三隻的情形。
參考文獻
[1] http://www.smallcampus.net/htmlcontent.php?channel=maths\_games\&show\_date=2001-09-01
| File | File size |
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 1 saymathsgame.pdf | 324 Kb |