作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

一個團體，例如學校的數學科﹑一個班級﹑全校等，遇到有重要事項要議決時，常常採用投票的方式來決定該如何實行。而這種投票方式，經常以超過半數讚成或者三分之二以上讚成為通過與否的重要分水嶺。超過半數的規定很容易理解，但三分之二以上的規定不知從何而來，為什麼不是五分之三以上呢？

事實上，對於只有不是讚成就是反對的投票模式，心理學上有一則相當有趣的「黃金分割現象」。這現象是說，若投反對票有n人，投讚成票有p人，則讚成票所佔的比例，即分數

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

班佛法則是物理學家法蘭克‧班佛所提出的一則數學法則，而且是與數字相關的法則。我是輾轉從中研院統計所的一位研究員那兒得知這法則的，這對從事數論研究的我來說，真是有點不好意思。這法則的故事是這樣的，在1881年，數學家西蒙‧紐康觀察到數學家們所使用的對數表書籍裡面，前面的頁面老是比後面的頁面部份髒了很多，原來是翻閱前面頁數的人老是比翻閱後面頁數的人多的多。紐康提出了一則與數字出現有關的機率假設。在1938年，班佛根據紐康的假設，做了廣泛的資料蒐集，其中包括統計335條河流所流過的區域面積。在歸納這些資料後發現，財務報表中的數字，以「1」開頭的數字出現的機率為30.1%最大，而「2」出現的機率為17.6%，依此遞減，到「9」出現的機率只剩下4.6%最小。

 

美國麻薩諸塞州的數字樂透遊戲是讓賭客猜一個即將搖出的四位數整數。麻州樂透天天開獎，完全猜中此四位數整數（數字次序必須相同）的賭客平分彩金，例如2007年10月23日至27日的開獎號碼與每人獲得彩金如下表：

 

想要瞭解麻州樂透要怎麼簽才會有最大獲利，就必須清楚人類對數字有哪些偏好。班佛法則告訴我們，第一位數字越小，人們對它的偏好越大。例如，可以做個實驗，叫每位學生寫出一個四位數的正整數，並統計這些正整數的第一位數字的分佈狀況。

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

每一個人將拳頭握緊，雙手的手臂張開，當張得越開時，兩拳頭間的距離就越大，這是大家都可以親身體驗的常識。這種手臂遊戲可以延伸成一個有趣的數學定理嗎？兩百年前的柯西，就是發現而且證明這數學定理的人，更有趣的是，他的證明是有瑕疵的，或者說，是有漏洞的。這個漏洞直到荀白克給薩林巴的一封信時，柯西的這個錯誤才被發現及填補起來。

為了便於瞭解，我們將手臂遊戲設計成四邊形：

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

報載：「一位有名的台大醫學博士嫖竊一名只有小學畢業的赤腳醫生的獨門經絡療法…手痛醫腳，腳痛醫手。」手痛可以在腳找到關鍵醫點，腳痛卻去治療手，這話真的有夠無里頭。如果把治病當成解題，那麼這種解法就有點像彈性題的解法。當一道題目的解法很無里頭，必須從一個看起來跟題目未必相關的點切入才能破題時，這道題目就是所謂的彈性題。在這裡我們來介紹一道彈性題。

 

在象棋的規則中，『馬』的走法是要走『日』字形的，如下圖，在5×5的棋盤上，每個位置中都放一隻馬，若所有的『馬』同時起跳，跳往下一個位置，請問是否所有的『馬』都有落腳處，而不會有兩隻『馬』跳到同一格中？

 

這是台北縣公立高中第二屆數學競賽的考題，這問題跟以下的遊戲有異曲同工之妙：