作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
幾年前報紙上刊登過一則有趣的詐騙新聞,兜售太陽眼鏡的生意人向路人宣稱,戴上這高科技眼鏡,可以看穿衣服,讓內在無所遁形,路人甲一時心動買了一副,回去一「視」再「視」,都沒有看到他想看到的,一怒之下,告進法庭。法官傳生意人訊問,生意人說:「沒有可以看透衣服的眼鏡,這是基本常識,只有色迷心竅的人才會受騙,法官應該問路人甲有否色迷心竅,如果沒有,那代表路人甲早就知道這只是一副普通的眼鏡,無所謂受騙。」路人甲只好啞巴吃黃蓮,有苦說不出的撤回告訴。
這種用高科技騙人的伎倆時有所聞,事實上,高科技經常被用來擷取﹑儲存資料與還原原始資料。例如,以前的帳目都是記錄在紙本上,沒多久就累積一大疊資料,當政府人員前來查帳時,往往來不及銷毀,留下證據。現在都用電腦記帳,小小的硬碟就可以記錄許多資料,遇到查帳時,只要手指一按就可以銷毀不想被知道的資料。但是,銷毀的硬碟資料是可以被還原的,科技人員可以一層一層的叫回被殺掉的資料。
這裡我們將介紹一道差一點就消失,而且是世界上最古老的拼圖遊戲。在加州史丹福大學同步輻射實驗室,古文物復原專家運用紫外光與數位圖像電腦處理技術,讓阿基米德發明的一道遊戲重現天日。在1998年10月30日,《紐約時報》頭版登了一則報導:紐約佳士得拍賣會上,有一本其貌不揚的古書,以美金200萬的高價成交。從外表看,這本書就像是中世紀某位修士的祈禱書,磨損不堪,布滿燒焦、水漬、發霉的痕跡。然而在祈禱文的下方,隱約可看見幾乎被擦拭掉的、傳抄自古代科學家阿基米德的抄本。這祈禱書是教士約翰‧麥隆納斯於公元1229年4月14日抄寫,想在耶穌復活周年日,當作禮物獻給教會。羊皮紙從古代中世紀開始使用,由於價值極為貴重,通常經過皮面刮削後,重新書寫,被稱為再生羊皮紙,麥隆納斯將祈禱文書寫在再生羊皮紙上。透過高科技的掃瞄,祈禱書最後一頁原本是阿基米德稱為《胃痛》的一篇文章。該文章並非談身體的疼痛,而是在論述一道組合學的問題,而且附了一個正方形的插圖:
 
阿基米德的《胃痛》拼圖
閱讀全文:45 阿基米德的“胃痛”遊戲…西方的七巧板
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
在數學上,有關計算個數或比較大小的問題,除非有很好的公式可代入精確計算或比較大小,否則使用樹狀圖進行分析﹑歸類及統計是不得不的一種計算方式。同樣地,在兩人玩的遊戲中,人們也可以畫樹狀圖來進行模擬一番,只是比賽進行中樹狀圖只能在腦海裡想像,無法像解數學題目一樣,在紙張上畫。但是,樹狀圖也有它的缺點,當樹狀圖太過複雜(圖繁不及備載)以致於無法從中看出端倪時,樹狀圖的用處就被侷限了。也就是說,樹狀圖只是一種輔助思考的實體,隱藏在樹狀圖背後的規律才是解題的重點。我們來欣賞一道小學競賽的數學遊戲題:
閱讀全文:46 碩大就是美…吃雨傘節的遊戲
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
尼采在《拜火教教主如是說》這本書裡,有一段耐人咀嚼的哲學思考:「當你見到猴子笨拙的行為時,你該覺得好笑還是自卑呢?到底是取笑猴子的不靈活,笨手笨腳的行為,還是對笨拙的猴子可以演化出人類,而我們似乎很難比牠們進步得更多感到自卑呢?」
人類之所以異於動物,主要是具有靈巧的雙手與聰明的大腦。據說一百多年前當科學家還無法瞭解頭腦內部結構時,就以頭殼的外型來測量智商的多寡。就是科學昌明的現代,還是有很多人相信皮指紋分析可以找出孩子的才能,用指紋的「渦紋」和「蹄狀紋」兩種紋路來判斷性格及命運傾向。
 
就讓我們來欣賞一道具有靈巧雙手,但普通頭腦的猴子所玩的把戲: 
 

有一隻會洗牌的猴子,牠只會洗四張牌,而且每次都用同樣的模式洗牌。猴子的主人拿出分別寫著1, 2, 3, 4的四張牌給猴子,並將牌子排好,讓上而下的順序為編號1, 2, 3, 4的四張牌,如下圖的第一列所示:
 
猴子洗第一次牌後不讓主人看牌子的順序,接著洗第二次牌,仍然不給主人看,然後猴子洗第三次牌,並讓主人看牌號的順序。這時主人發現從上而下的牌號為
2, 4, 1, 3.
猴子的主人想了一下說:「他知道猴子洗第一次牌後,牌號從上而下的順序。」你知道嗎?

 
洗牌的方式有很多種,但無論如何洗,最後它總是1, 2, 3, 4這四個數字的某種重新排列,又四個數字排成一列計有
閱讀全文:47 會洗牌的猴子…合成函數的使用
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
下圖是楊輝繪畫的「古法七乘方圖」,此圖每行數字左右對稱,由1開始逐漸變大,然後變小,回到1,而且每個數字等於上一列的左右兩個數字之和,利用這個性質就可以寫出整個楊輝三角形。西方稱楊輝三角形為帕斯卡三角形。
將楊輝三角形中的數字用一般數字表示就是
 
根據規則,可以將楊輝三角形往下無限延伸。有許多跟楊輝三角形有關的有趣性質,例如研究每一行奇數(或偶數)出現的次數。又楊輝三角形中的數除了1之外,有越來越大的趨勢,所以每個大於1的正數都只會出現有限次,例如6僅在楊輝三角形中出現三次,但似乎還找不到恰好出現六次的數。
閱讀全文:48 楊輝的魔術…二項式係數的奧妙
作者:國立台灣師範大學數學系教授 許志農
 
自歐幾里得在《幾何原本》第四卷命題十一提出如何尺規作圖正五邊形以來,正五邊形的各種不同作圖方法不斷被提出。但是,簡潔﹑有力又漂亮的方法是芮奇蒙(H. W. Richmond)在1893年所想到的一種方法。讓我們來欣賞芮奇蒙關於圓內接正五邊形的尺規作圖。
如果將左圖中的圓內接正五邊形,於圓心畫上兩條坐標軸,並讓x軸正向通過正五邊形的一個頂點,如右圖所示,那麼位於第一象限的正五邊形頂點B之坐標為何呢?
閱讀全文:49 既漂亮又簡潔的芮奇蒙正五邊形作圖法…精準的數學工藝