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分類：戲說數學
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發佈於：14 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
馬走「日」步是象棋遊戲的規定，這規定也增添了數學遊戲的探討趣題。走日步的馬如果不是在邊界附近，受了限制，那麼馬可以有八個方位可以跳動。這也是馬可以無拘束的跳動的原因，同時也增添了研究的困難度。
在縱橫都刻有1, 2, 3, 4, 5刻度的5階正方形棋盤的格線交叉點上放置象棋中的「馬」，其中左下角空白，而右上角是反白的「馬」，其餘都是黑「馬」，如下圖所示：
每次移動必須讓一隻馬（黑馬或反白的馬皆可）以走日步的方式，移動到空白點上。當反白的馬被移動到左下角的位置時，遊戲完成：
試著以最少的移動次數將反白的馬移動到左下角的位置。
各位也可以嘗試不同大小棋盤的情形，例如4階棋盤特別簡單，只需5步就可以完成，而3階棋盤反而比較困難，需要25步才能完成。
拿出一張空白紙張，劃上5階棋盤，當你沒有那麼多棋子或硬幣時，可以只拿一枚一元及一枚五元的銅板，將一元放置在左下角當空白位置，五元擺在右上角當反白的馬。每次都讓一元銅板跳日步（相當於將跳動位置的馬移動到原一元銅板位置的意思，且當一元跳到五元位置時，必須將五元放在原來一元的位置），直到五元位於棋盤左下角為止。這是一種方便的玩法，省去準備道具的困擾。想想看，這樣是否與真正的走馬步遊戲一樣。
閱讀全文：25 走馬步遊戲…有向位移初體驗
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分類：戲說數學
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發佈於：14 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
學幾何的人都喜歡將所學的幾何定理用生活中的事物來比喻，這裡所要介紹的「眼球定理」就是一個實例。
不過個人比較想要把眼球定理想成大小精靈互吃對方的定理，相想看，大小精靈互相看對方不順眼時，都張大他們的嘴巴，想把對方一口給吃掉：
其樣子不是很像「眼球定理」中的圖形嗎？
如下圖所示，圓O1與O2是兩的相離的圓，從圓心O1向圓O2引公切線，這兩條公切線會與圓O1交於兩點，令這兩點的距離為d1；同樣地，從圓心O2向圓O1引公切線，這兩條公切線會與圓O2交於兩點，令這兩點的距離為d2：
討論d1與d2的大小關係。
這定理初看之下可能無解題的方向感，但仔細分析之後，就知道不難，利用國中直角三角形的相似性質或高中正弦函數的性質。在證明眼球定理之前，讓我們來欣賞一道與眼球定理有異曲同工之妙的幾何定理。下圖是有名的蝴蝶定理之圖形，該定理是以圖中有貌似蝴蝶的形體來命名，有興趣的讀者不妨上網查一下何謂蝴蝶定理：
閱讀全文：26 眼球定理…蝴蝶定理的翻版
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分類：戲說數學
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發佈於：14 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
這裡要介紹的這道遊戲，有人稱它為 Chomp 的遊戲。我是在北一女演講時，想要做科展的學生問我這道遊戲，才知道這道有趣的遊戲。事實上，學生們也是從許介彥教授的一篇文章裡得知 Chomp 這道遊戲。數學概念「對稱」隱藏在這道遊戲裡，希望玩者可以很快的掌握這道「對稱之美」的遊戲。
閱讀全文：27 戲弄第一象限…抓氣球的遊戲
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分類：戲說數學
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發佈於：14 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
拋物線與弦所圍的區域稱為拋物線的弓形，世界上第一位會算拋物線弓形面積的人是兩千多年前的阿基米德。阿基米德以弦為底畫出一個三角形，之後在兩邊再各畫一個三角形，如下圖所示：
阿基米德說：「如果依照這樣的規律一直畫上去，那麼這些三角形的面積總和就會是拋物線的弓形面積。」後人利用馱龜問題來讓中學生瞭解阿基米德的巧思及其如何算得此面積公式，大意是這樣的：一隻大烏龜馱上2隻中烏龜，這兩隻中烏龜的重量都是大烏龜的八分之一，又每隻中烏龜又背著2隻小烏龜，這兩隻小烏龜的重量也都是中烏龜的八分之一，如此疊上去，如下圖所示：
此時所有烏龜的重量和就是拋物線的弓形面積。如果可以算得每一層烏龜的重量和，那麼所以烏龜的重量和就可以得到。
無論是弓形面積或者是烏龜的總重量，都是將他們化成數列來考慮。可見如何求出數列的規律或一般項公式就變得很重要了。這裡我們來玩一道與數列相關的操作遊戲：
閱讀全文：28 索數列…遞迴數列的奧妙
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分類：戲說數學
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發佈於：14 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
線條，特別是直線，是學習幾何所必須掌握的基本工具。在319槍擊案中，神探李昌鈺就是用雷射槍打出來的直線來追蹤槍擊手可能的開槍位置，這是三維空間與一條直線的對話。這裡讓我們來思考一道平面上的直線問題，大家都知道，當賦予直線的斜率時，平面上的直線就忽然間從幾何的國度躍入代數的領域中。幾何與代數一起考量才是瞭解直線的硬道理。
閱讀全文：29 架設照相機的數學…直線與斜率的對話