Alexander Bogomolny 勾股證明 - 非想非非想數學網

【作輔助圖】

1.以直角三角形\(ABC\)的斜邊\(\overline { AB } \)為直徑作圓。

2.過\(A\)作直線平行於\(\overline { BC } \)，交圓於\(D\)，連\(\overline { BD } \)。

【求證過程】

先以輔助線作出圓及其內接長方形\(ACBD\)，根據托勒密定理(Ptolemy’s Theorem)，圓內接任意四邊形的兩組對邊乘積和等於對角形的乘積。就可以輕易地證出畢氏定理關係式。

【作輔助圖】

1.過直角三角形\(ABC\)的\(C\)點作\(\overline { BC } \)的高，垂足\(D\)。

2.以\(\overline { AC } \)為直徑作圓\({ \Gamma }_{ 1 }\)，並以\(\overline { BC } \)為直徑作圓\({ \Gamma }_{ 2 }\)。

【求證過程】

作直角三角形斜邊上的高，並以直角三角形的兩股為直徑作圓，利用圓的切割線定理，再將兩個切線段平方加起來，即可透過簡單的代數運算性質得證畢氏定理關係式。

【作輔助圖】

1.此證明不需要加作輔助線。

【求證過程】

直接兩種不同的方式計算直角三角形面積，一是使用海龍公式(Heron’s Formula)，另一是使用底乘高除以二計算。再透過代數運算整性質整理，即可得到畢氏定理關係式。

【作輔助圖】

1.以直角三角形\(ABC\)的三邊\(\overline { AB },\overline { AC },\overline { BC } \)為正方形的一邊，分別向內、向外、向外作正方形\(ABDE,ACFG,BCHI\)。其中\(E-G-F\)共線且\(I-H-D\)共線會在底下證明。

2.延伸\(\overline { GF },\overline { IH }\)交於\(J\)，並連\(\overline { CJ } \)。

【求證過程】

先以輔助線在三邊上製造正方形，並延伸成五邊形。在證明過其中六個直角三角形為全等的直角三角形後，以兩種分割方式看五邊形，就可以看出大正方形面積為兩個小正方形面積之和，也就證明了畢氏定理關係式。

【作輔助圖】

1.以直角三角形\(ABC\)的\(\overline { AB } \)為正方形的一邊，向外作正方形\(ABDE\)；另外以\(\overline { BC } \)為正方形的一邊，向內作正方形\(BCFG\)。並且連\(\overline { GD } \)。

2.接著過\(C\)對\(\overline { DE } \)作垂直線，垂足\(H\)。過\(E\)對\(\overline { GD } \)作垂直線，垂足\(I\)。

3.最後以\(\overline { EI } \)為正方形的一邊，向上作正方形\(IEJF'\)。以下我們將證明\(F'\)與\(F\)會是同一點。\(\overline { AB } \)與\(\overline { CH } \)的交點為\(K\)。

【求證過程】

先以輔助線分別製作以直角三角形三邊長之一為邊的正方形，並將大正方形以輔助線切成兩個長方形。接著我們利用推移的方式將兩個長方形都推成長方形後，再將兩個長方形都移成兩個小正方形。因為我們知道推移後的面積不變，也就可以利用面積的等式來證明畢氏定理的關係式。

勾股定理證明-Bog021