作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

這是乾隆皇帝收藏的一件藝術精品，此玲瓏精緻的象牙套球目前收藏在台北故宮博物館，它是由十七層可以靈活轉動的球體所構造完成，從最外層的球體往內挖，必須連挖十六層，而且每層球體的表面必須精雕藝術作品。

 

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

盛行在西藏的太陽能煮水器，是利用拋物線所圍繞而成的拋物曲面的聚焦效果，將太陽能濃縮在壺底的點，而這個點就是拋物線的焦點。焦點的溫度足以讓水沸騰。這也就是說，水壺必須架高，精準的置於焦點的位置處。

 

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

 

街道上的人行磚，有見過像左圖這樣緊密又漂亮的格式嗎？這一切都要感謝荷蘭藝術家艾薛爾（M. C. Escher）的天分，沒有他，世界上的美學肯定失色不少。

 

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

數學難題有很多

解決一題永流傳

 

《算術講義》這本書是將古典算術的題目，理論與方法深入淺出的介紹給中學生或中學教師參考。本書內容自成一系統，僅需具備中學的數學知識即可讀懂所有的各節；這也是寫本書的主要目的之一。另一個目的是要讓國人的算術知識有所提昇；並進而使它成為一種優良傳統。事實上，我們的祖先在算術上的成就是優於世界上任一個國家的。我們應該秉持這個優良的傳統。

 

本書分成很多個小節，有些小節介紹基本算術的技巧，有些講歷史上有名問題的作法、證法或想法。每小節後附有一些習題，大部份由本人自編，有些是參考整數論的書而來。事實上，幾乎每節都有可推廣作為一個小科展的體材，很適合作為中學教師指導資優生的參考書或高中數學研究社的研究教材。

 

本書原則上每節的內容很適合程度不錯的國、高中學生自行研讀；每節後面的習題難度較高，有老師指導較適合。每題習題若能在二十至四十分鐘內作答出來就算很有水準了，如果做不出來也不用氣餒，因為能做完所有習題三分之一的人就算很好了；如果能做超過一半的習題則算是出眾之人了。為了給對數學特別有興趣的同學有挑戰自己的機會，每節於習題之後附有一題挑戰題（一個小時內做出即屬不錯），並在每節的最後附上一則數學上有名的猜想，供各位同學參考及增加數學知識。如果自認對某習題的解法很獨到、有創意、或很簡潔則歡迎將作法寄給本人。

 

原則上，本書適合中學教師參考、進修、指導數理資優生、當作數理資優生的讀本或當作高中數學研究社的教材（因為本書沒有假設太多的預備知識）。尤其每一節的習題，都有一定的難度，很適合當作訓練資優生的範本。又目前各大學數學系都有自辦推薦甄選入學，一般推薦甄選的計算、證明題部份，就是設定每題在二十至三十分鐘的時間內做出來的。因此這本書也可以作為推薦甄選的模擬參考書。

 

本書承蒙師大數學系的蔡浣如、許育瑋、陳香如、林玲誼、陳昭蓉學生、游淑敏、陳勇政助教、吳慧真、洪瑞鎂、陳穎希、李佳奇、林政輝、蔡佩旻研究生，朱綺鴻、鄭英豪、蘇意雯博士生，師大附中林建位同學及師大科教所研究生黃明瑩、劉善榜的細心校訂；北ㄧ女鄭國恭老師、建國中學曾政清老師、華江高中陳明峰老師的校稿及彰化師大數學系黃森山教授的指正，在此感謝他們。雖然已校訂過多次，但錯誤、疏失仍很難避免，希望諸位先進給予指正。

 

這本書的大部分內容曾經在建國中學、北ㄧ女、師大附中、臺南一中、臺中一中、三峽明德完全中學的數理資優班、師大數學系、師大暑期四十學分班（數學組）及師大數學教學碩士班的“數學解題”課堂上使用過。

 

本書計有41回，目錄為：

 

1 迷人的勾股定理與漂亮的質數定理

2 千變萬化的不等式

3 有理數與一次因式檢驗法

4 數學歸納法

5 歐基里得輾轉相除法

6 中國剩餘定理

7 大家一起來猜數字

8 一題多解的幾何問題

9 祖暅原理與正投影面積公式

10 大家來算π

11 高斯五邊形定理‧‧‧稀少，但成熟

12 出人意表的證明

13 分數問題

14 大家一起來尋寶

15 詭論一則

16 鴿籠原理（抽屜原理）

17 逐步淘汰原理（排容原理）

18 有趣的數字問題

19 兩則算術遊戲

20 哈密頓定理

21 平面上有限個相異點至少可連結出多少種長度不一的線段

22 劉維爾定理

23 費氏數列

24 費馬小定理

25 畢氏數與費馬方程式

26 高斯引理

27 橢圓方程式(Elliptic Equation)

28 圓錐曲線上的格子點問題

29 質多項式的問題

30 平方和問題

31 格子點問題

32 同餘數與斐波那契問題

33 四平方和定理

34 代數整數與整係數質多項式

35 質數問題

36 李善蘭恆等式

37 佩爾方程式

38 一元三次方程式的判別式

39 希爾伯特第三問題

40 狄利克雷定理

41 再談佩爾方程式

 

許志農    敬上

2013年十月