20.幾何明珠…正十七邊形 - 非想非非想數學網

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

你擁有過保時捷精品嗎？如果沒有或者買不起，他設計的扭動鋼筋自動鉛筆倒可以考慮。這自動鉛筆是扭動十七條鍍白金的鋼筋所設計出來的。

「十七」這個數字讓學數學的人特別有感覺，除了是質數之外，也是繼正五邊形之後，下一個可以尺規作圖的質數邊正多邊形。

包裝禮盒的彩帶，在打個結之後，會有正五邊形的形狀出現，而足球的表面是由正五及正六邊形刻畫而成，那正十七邊形的事物哪裡找呢？

正十七邊形的尺規作圖法，是大數學家高斯在他十九歲時所獲得的一項研究成果。高斯對他的這一項成果顯然非常喜歡，才會讓正十七邊形的標誌出現在他的墓碑上，永遠陪伴一代大師。

在座標平面上，以原點為圓心，單位長為半徑畫一個圓。想在圓周上點十七個點，然後依序將這些點連接，讓它剛好是一個正十七邊形，這並不是一件容易的事情。但是，當我們選了(1,0)這個點之後，如何構造出點

就變成整個問題的關鍵了。高斯推導出

的精確公式為

因為這個公式僅用到開根號的數，而開根號的數是可以尺規作圖的，所以高斯就證得「正十七邊形可以尺規作圖」這道千年不得其解的難題。

習題：

1.試著推導或透過查詢，寫下

的精確公式，且利用這公式說明「正五邊形可以尺規作圖」。

2.透過維基百科或Google的文獻搜尋，寫出下一個可以尺規作圖的質數邊之正多邊形。