作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

看過電影「美麗境界」嗎？那部電影的主角是一位數學家，叫納許，劇情是演納許對抗病魔三十幾載，最終獲得諾貝爾經濟學獎的動人故事。這裡所要談的納許棋盤，據說是他在普林斯頓高等研究院的廁所發現的。因為廁所的磁磚是正六邊形鋪成的，所以納許棋是跟正六邊形有關的遊戲。

 

16.1 納許棋的奧秘

我認識納許是從他的納許棋盤開始的，棋盤的樣子如下（這是6 階的棋盤，共由6 × 6 = 36 塊正六邊形磁磚鋪成）：

 

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

教書是一種「真實與催眠之間的拔河」或者說是「走在真實與催眠這兩個向度上的一條函數曲線」。對不同的人，施予他的催眠藥劑量是不同的，適合他的函數曲線也不相同。如何以適當的劑量催眠他，使他清醒過來時，還會感謝你或者是清醒過來時，又是另一個催眠他學習的好時點，是教書最難拿捏的地方。小學的「九九乘法表教學」是經常被討論的題材。傳統的教學方法是先將九九乘法表強制烙印在每位學生的腦海裡，再讓學生隨著經驗的累積與時間的成長，領悟九九乘法表的真實意義，這充分展現「時間是最好的醫生」這句俄國諺語的道理。但是九年一貫的精神是希望當下能理解九九乘法表的意義，完全不必記憶與背誦它，這是一個不許使用「催眠」技巧的教學方法。

 

在小學的數學學習過程中，「九九乘法表」的學習是讓我印象最深刻的，記憶之中，那是一位年約五十歲左右的曾姓老師教我們的。突然有一天，老師走進教室之後，叫所有的學生站起來，把椅子舉到頭上。然後老師拿起粉筆在黑板上書寫九九乘法表。寫完之後，向我們說著「今天的功課就是背誦黑板上寫的九九乘法表，準備妥當的可以到前面背給老師聽，完全正確的可以放下椅子，到教室外面玩耍。」因為那是很久以前的事情，而且我讀的小學是很鄉下的迷你小學，所以不會有家長告老師的事情發生。不過，我卻很感謝那位曾老師，原因不在我是第一位放下椅子的人，而是那次的成功經驗使我從一個成績不怎麼樣的學生變成名列前茅的優秀學生。在九九乘法表的教學上，我的老師採取如睜眼金剛般的訓斥﹑棒喝教法，九年一貫想採用像慈眉善目的觀音一樣，普渡眾生。究竟何者才是正確的教學方法呢？我想不會有正確的答案！

 

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

為了診斷並找出數學學不好的病兆，幾年前有幾位數學教授身穿白袍，打扮成醫師的模樣，接受學生與家長的預約看診。當然他們是想透過與家長及學生的直接面談﹑心理諮詢，利用醫師給人的制約形象，好讓學生有信心讀好數學。但是一陣子之後，不知為何就沒實施了，真想問他們「這樣做真的有效嗎？」只是一直都沒敢問就是。像這樣，透過文字語言與家長及學生直接交流，坦開心胸，並借用白袍，聽診器這樣的橋樑或仲介工具，到頭來，會不會只是給了家長及學生安慰劑而已呢？

對一位數學不靈光的人來說，如何才能正確的診斷出他的數學病因呢？同樣的，對一位數學不錯的人，怎樣的建議才能讓他的數學能力更上一層樓呢？說來奇怪，生病與健康，看似相反，其實是相通的。想想看！沒生過病的人，怎麼會瞭解健康呢？同理，說自己健康的人，他肯定以前生過病。生病與健康是互相依賴存在的兩個詞。生病的人渴望健康，但未必能得到健康，但是，真正健康的人不僅知道健康，也經歷生病。所以真正健康的人不僅知道健康，也瞭解生病。同樣的情形也發生在傻瓜與天才的區分上，傻瓜只不過是混亂了的天才，而天才只不過是整合過的，歸於中心的傻瓜。傻瓜與天才並不是兩條平行線，它們可以透過梯子連結，傻瓜是梯子最低的那一階，而天才是梯子最高的那一階，只要找到攀爬梯子的竅門，傻瓜就是天才了。數學傻瓜解決數學問題特別看重仙方，忽視睡方；但數學天才卻反其道而行，不覓仙方，覓睡方。究竟我們的數學能力處於梯子的那一階呢？這正是本文所要討論的重點。就讓我們從中醫「望﹑聞﹑問﹑切」開始吧！

 

作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農

 

對讀數論的人來說，擁有一本數論學家韋依（ ）所著的《數論》，算是基本的裝備，而且這本書在台灣也有翻版。讓我納悶的是，這本英文書籍的扉頁卻出現陳省身所題的「老馬識途」四個大字，並附上一匹駿馬的圖片。在讀完博士時，仍然搞不清楚其中原委與典故。在畢業教書之後，趁暑假來趟成都﹑西安之旅，才搞清楚整個情形，原來它是一段唐朝的大故事。

 

從四川成都搭乘火車翻越三國孔明六出祈山的秦領，出寶雞，來到曾經是秦王屬地的陝西西安。這趟懷古之旅，讓我既高興，又難過。高興的是可以與歷史相會，回憶一下我所瞭解的歷史，難過的是，經過一天多的搭車煎熬，還需忍受大陸乘客在車廂猛抽煙的煙味。大概是文革的關係，來接我們的陝西西北大學教授，竟然不知道五丈原這個地方（孔明在那過逝，位於秦領出陝西的地方），對武則天的歷史也知道很少，這是讓我很訝異的地方。不過，在陝西西安碑林博物館，讓我心中的疑問頓解，可說是此行最大的收穫。就讓我來報告這趟豐收之旅吧！

 

唐太宗昭陵上，有六匹駿馬的浮雕石刻聞名於世，俗稱昭陵六駿（白蹄烏、青騅、颯露紫、拳毛騧、特勤驃、什伐赤）。這六匹戰馬是李世民在唐開國戰爭中南征北討的坐騎，並命唐初大畫家閻本立繪草圖，監石雕而成，因而有

「秦王鐵騎取天下，六駿功高畫亦優」

這樣的詩句流傳於世。這六匹馬中的颯露紫與拳毛騧於1914年被盜，運往美國，現藏於美國費城賓夕法尼亞大學博物館，牠們的複製品與其餘四匹駿馬的真品陳列於西安碑林博物館。數學家陳省身有感於古物流落他鄉的遺憾，特在偉大數論學家韋依所著的《數論》這本書的扉頁上，用毛筆書寫著『老馬識途』四個中文字，並附上拳毛騧的圖片。渴望牠們早日回歸故里。