21 倒水問題…轉移矩陣 - 非想非非想數學網

作者：國立台灣師範大學數學系教授許志農

「每個元素都大於或等於0，且每一行的和都是1」的矩陣稱為「轉移矩陣」，例如

就是三階的轉移矩陣。在日常生活中，有許多事物都跟轉移矩陣相關，差別只在於我們無法與它連結起來而已。既使是中學課程，也很少舉出很漂亮的轉移矩陣的應用實例。

這裡所要介紹的倒水問題就是一道典型，但不易被察覺的轉移矩陣實例：

有甲﹑乙及丙三個水瓶，分別裝有a, b及c公升的水。每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶，再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶，然後再將丙瓶的水倒出一半回甲瓶。

設n輪操作後，甲﹑乙及丙瓶的水有a_n,b_n及c_n公升，如何將a_n,b_n及c_n的公式表達出來，又一直操作下去，三瓶子裡的水會穩定下來嗎？如果會，那麼最終三瓶子會有水各幾公升？」

在思考倒水問題之前，先來做個軟身，試試看底下這道倒水問題（98數乙指考試題）：

設有 A、B 兩支大瓶子，開始時，A瓶裝有a公升的純酒精，B瓶裝有b公升的礦泉水。每一輪操作都是先將 A 瓶的溶液倒出一半到 B 瓶，然後再將 B 瓶的溶液倒出一半回 A 瓶（不考慮酒精與水混合後體積的縮小）。設n輪操作後，A瓶有a_n公升的溶液，B瓶有b_n公升的溶液。已知二階方陣

滿足

(1) 求二階方陣

(2) 當

時，求a₁₀₀及b₁₀₀。

(3) 當

時，在第二輪操作後，A瓶的溶液中有百分之多少的酒精？

有了這道聯考題的經驗，關於三階倒水問題是否會解了呢？

首先讓我們考慮第一輪操作後的水量a₁,b₁,c₁與初始值a,b,c的關係。根據倒水的規則，可以些出它們之間的線性關係

進一步可以得到

因為P是一個三階轉移矩陣，所以當操作一直進行下去時，三瓶子裡的水是會趨近穩定狀態的。而且當穩定狀態時，三瓶子水量的比例x:y:z會滿足

即滿足方程組

解得x:y:z=2:1:1。因為三瓶子裡的總水量是a+b+c公升，所以甲﹑乙及丙三個水瓶在穩定狀態時的水量分別為

公升。

從上面的詮釋可知：倒水問題是一道不容易的趣題，它牽扯到矩陣的概念，而且是相當深的概念。在瓶子只有兩個時，得到的轉移矩陣是二階方陣，會比較好處理。

附加檔案：
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21 saymathsgame.pdf	133 Kb