26 眼球定理…蝴蝶定理的翻版
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分類：戲說數學
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發佈於：14 四月 2014
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作者：國立台灣師範大學數學系教授 許志農
學幾何的人都喜歡將所學的幾何定理用生活中的事物來比喻，這裡所要介紹的「眼球定理」就是一個實例。
不過個人比較想要把眼球定理想成大小精靈互吃對方的定理，相想看，大小精靈互相看對方不順眼時，都張大他們的嘴巴，想把對方一口給吃掉：
其樣子不是很像「眼球定理」中的圖形嗎？
如下圖所示，圓O1與O2是兩的相離的圓，從圓心O1向圓O2引公切線，這兩條公切線會與圓O1交於兩點，令這兩點的距離為d1；同樣地，從圓心O2向圓O1引公切線，這兩條公切線會與圓O2交於兩點，令這兩點的距離為d2：
討論d1與d2的大小關係。
這定理初看之下可能無解題的方向感，但仔細分析之後，就知道不難，利用國中直角三角形的相似性質或高中正弦函數的性質。在證明眼球定理之前，讓我們來欣賞一道與眼球定理有異曲同工之妙的幾何定理。下圖是有名的蝴蝶定理之圖形，該定理是以圖中有貌似蝴蝶的形體來命名，有興趣的讀者不妨上網查一下何謂蝴蝶定理：
讓我們來證明眼球定理：如下圖所示，令圓O1與O2的半徑分別為r1與r2，從圓心O1向圓O2所引公切線與直線O1O2的夾角為θ1：
利用正弦函數的定義，得
即
同理，可以從圓O2得到
故d1=d2。
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